어떤 집합 S에 Equivalence Relation이나 Partition이 있다고 해 보자. 이 상황에서 각 엘리먼트가 Equivalence Class(혹은 Partition에 의해 나눠진 부분집합)인 새로운 집합 S를 정의할 수 있다. Equivalence Class들로 이루어진 집합이 되는 것이다. 더 나아가서 a를 포함하는 Equivalence Class가 있을 경우 이를 a라고 표기할 수 있다. a는 S의 엘리먼트 중 하나인 것이다.

위의 상황을 아래와 같은 natural surjective map으로 표현할 수 있다. natural surjective map은 전사함수인데, codomain(정의역) = range(치역) 인 함수를 말한다.

S ⟶ S, which sends
a ⇝ a

예를 들어 S = ℤ 이고, S의 엘리먼트가 (Even)과 (Odd)로 이루어져 있다면, 0 = 2 = 4 = ... 가 될 것이다. 즉, 이들 중 어느것이라도 집합 (Even)을 나타낼 수 있다.

ℤ ⟶ {(Even), (Odd)}

위와 같은 상황을 두 가지 방식으로 생각해 볼 수 있겠다.

집합 S의 엘리먼트들을 Partition으로 나눠진 부분집합 중 한 곳에 쌓아놓는다고 보고 각각에 쌓인 더미들(piles)이 또 다른 집합 S 를 형성한다고 생각하는 것이다. S ⟶ S 는 S의 엘리먼트들을 해당하는 더미(pile)로 옮기는 매핑인 것이다.

또는 이러한 매핑을 S에서 서로 모이는 것끼리는 '같다'라고 생각해 볼 수 있다. 즉, a ~ b 가 S에서는 a = b 를 의미한다고 보는 것이다. 이 관점에서 보면 두 집합 S와 S는 서로 대응되는(correspond) 관계인 것이다. 단, S에서 엘리먼트끼리 '같다'라는 의미가 좀 더 강할 것이다. 아래의 표현으로 좀 더 명확하게 설명될 수 있을 것 같다.

a = b means a ~ b

위와 같은 bar 표현식의 단점이라고 한다면, 여러 심볼들이 나타내는 것들이 서로 겹칠 수 있다는 점이다. 이에 대하여 각 Equivalence Class의 대표 표현식만 쓰는 방법이 있다. 예를 들면, (Even)을 0 으로, (Odd)를 1 으로만 쓰는 것이다.

{(Even), (Odd)} = {0, 1}

물론 첫 번째 방식(매핑에 의해 더미로 쌓인다고 생각하는 것)이 좀 더 눈에 잘 들어올 수는 있겠으나, 어떤 경우에는 두 번째 방식(bar 표현식)이 더 적합하다. 첫 번째 방식은 표현하기에는 어렵고 손이 많이 가는 반면, (짝수/홀수를 생각해보자) 두 번째 방식은 수학적인 표현식에 집어넣기 편하기 때문이다.

Equivalence Relation은 우리말로 하면 '동치관계'이다.

수학적인 구조를 만드는 기본적인 방법중에 하나는 집합 S에서부터 시작하여 S안의 특정 엘리먼트들을 같은 범주로 두는 새로운 집합을 생성하는것이다. 편가르기? 예를 들면, 정수 집합을 짝수와 홀수 두 개의 집합으로 나눌 수 있을 것이다. 또는 평면상에서 합동인 삼각형(Congruent Triangle)들을 지리적으로 동일한 오브젝트로 볼 수도 있다.

어떤 집합 S가 있을 때, Partition P of S란 S를 겹치지 않는 부분집합으로 나누는 것을 의미한다.

S = union of disjoint, nonempty subsets

예를 들면, 아래 집합은 집합 {1, 2, 3, 4, 5}의 Partition이다.

{1, 3}, {2, 5}, {4}

그리고 Equivalence Relation on S란 S에서 특정 엘리먼트들끼리의 관계를 의미한다. 이를 a ~ b 이렇게 쓰고 Equivalence of a and b라고 부른다.

Equivalence Relation은 아래와 같은 조건이 붙는다.

1. transitive: If a ~ b and b ~ c, then a ~ c
2. symmetric: If a ~ b, then b ~ a
3. reflexive: a ~ a for all a ∈ S

예를 들면, 합동인 삼각형(Congruent Triangle)들은 평면상의 삼각형들의 집합 S에서 Equivalence Relation이 될 수 있다.

좀 더 일반적으로 들어가보자. 집합 S에서 Relation을 갖는다는 의미는 S의 엘리먼트 두개를 짝지어 놓은 집합 S × S의 부분집합 R과 같다. 여기서 R은 a ~ b인 (a, b) 짝들로 구성된다. 그럼 부분집합의 관점에서 위에서 살펴본 Relation의 Axiom들을 아래와 같이 써볼 수 있다.

1. if (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R, then (a, c) ∈ R
2. if (a, b) ∈ R, then (b, a) ∈ R
3. (a, a) ∈ R for all a

Partition of S라는 말과 Equivalence Releation on S라는 말은 논리적으로는 서로 equivalent(동등)하여 실제로는 둘 중에 하나만 대표로 사용된다. 즉 주어진 Partition of S에서 a와 b가 Partion의 같은 부분집합에 놓여 있을 경우 이를 a ~ b라고 맺은 Equivalence Relation R을 정의할 수 있다. 위의 Axiom들을 모두 만족하기 때문이다. 반대로, 주어진 Equivalence Relation R에서도 Partition P를 다음과 같이 정의할 수 있다: 엘리먼트 a와 a ~ b인 모든 엘리먼트 b를 포함하는 부분집합. 이런 부분집합을 Equivalence Class of a 라고 하고, S가 Euqivalence Class로 Partition 되었다고도 한다.

Equivalent Relation이 집합 S에서 Partition을 만든다는 의미를 확인해보자. C_a를 a ∈ S인 Equivalence Class라고 하자. 즉, C_a는 a ~ b인 모든 b를 포함한다.

C_a = {b ∈ S | a ~ b}

위의 Axiom들 중 reflexive에 의해 a ∈ C_a 가 되기 때문에 모든 C_a 클래스들은 nonempty이다. 또한 a가 S의 어떤 엘리먼트도 될 수 있기 때문에 C_a 클래스들이 모이면 집합 S를 커버한다.

이어서 서로다른 Equivalence Class 들은 겹쳐서는 안된다는 속성을 확인해야 한다. 여기서 헷갈릴 수도 있는게, symmetric에 의해서 a ~ b가 b ~ a 도 되어, b ∈ C_a 가 될 수 있다. 그런데 b ∈ C_b 이기도 하기 때문에 서로 다른 Equivalence Class 들이 겹치는 문제가 발생한다. 하지만 사실은 두 클래스가 동일하다. 이어서 아래 내용을 살펴보자.

C_a와 C_b가 공통의 엘리먼트 d를 포함한다고 하자. 그러면, C_a = C_b 이다.

우선 a ~ b 이면 C_a = C_b 이라는 것을 확인해보자. x를 C_b의 임의의 엘리먼트라고 하면, b ~ x 이다. 그러면 a ~ b 이기 때문에 transitivity에 의하여, a ~ x 이며 x ∈ C_a 가 된다. 따라서 C_b ⊂ C_a 가 된다. a와 b의 순서를 바꾸어도 마찬가지이기 때문에 C_a ⊂ C_b 도 성립한다.

그리고 d가 C_a와 C_b의 공통의 엘리먼트라면, a ~ d 이면서 b ~ d 가 된다. 그러면 transitive에 의하여 a ~ b 가 되면서 위에서 밝힌 C_b ⊂ C_a와 C_a ⊂ C_b에 의해 C_a = C_d = C_b 가 성립된다(끝).

다시 말해서 각 Equivalence Class들간에 겹치는 엘리먼트가 있다면, 두 클래스가 완전히 동일하게 되므로 한 집합에서 겹치는 Equivalence Class가 생길 수 없게 되는 것이다.

모든 group간 Homomorphism φ는 image와 kernel이라는 두 개의 중요한 subgroup을 갖는다. image of a homomorphism φ: G → G'은 그냥 아래와 같이 매핑된 결과 이미지이다. Homomorphism은 bijective가 아니라는 것을 유념해두자.

im φ = {x ∈ G' | x = φ(a) for some a ∈ G}

이건 G' 나 혹은 φ(G) 이렇게 쓸 수도 있다.

kernel of φ 는 좀 더 미묘한데, kernel이란 G의 엘리먼트들 중에서 G'의 identity로 매핑되는 녀석들을 말한다.

ker φ = {a ∈ G | φ(a) = 1}

이건 G'의 identity 엘리먼트에 대해 역사상시킨 이미지라고 할 수 있다(φ^-1(1)). φ가 bijective 하지 않기 때문에 φ^-1은 여러개로 사상될 수 있겠다.

kernel은 G의 subgroup이다. 왜냐하면 a와 b가 ker φ안의 엘리먼트라면, φ(ab) = φ(a)φ(b) = 1 · 1 = 1 이며, 따라서 ab ∈ ker φ 이기 때문이다.

determinant 함수의 kernel은 determinant가 1인 행렬들로 이루어진 subgroup이다. 이 subgroup을 special linear group 이라고 부르고, SL_n(ℝ) 이라고 쓴다.

SN_n(ℝ) = {real n × n matrices A | det A = 1}

SL_n(ℝ)은 GL_n(ℝ)의 subgroup이다.

그리고 sign of a permutation sign: S_n → {±1} 이것의 kernel은 alternating group이라고 하고, A_n이라고 쓴다.

A_n = {even permutations}

kernel이 subgroup이라는 것 외에도 conjugate와 관련한 중요한 특징이 하나 더 있다. 만일 a가 ker φ 안의 엘리먼트이고 b가 group G안의 어떤 엘리먼트라면, conjugate bab^-1 은 ker φ 안의 엘리먼트이다. a ∈ ker φ 라면 φ(a) = 1 이라는 것을 염두해서 아래 수식을 살펴보면,

φ(bab^-1) = φ(b)φ(a)φ(b^-1) = φ(b)1(b^-1) = 1

이므로, bab^-1 ∈ ker φ 가 된다.

여기까지를 바탕으로 normal subgroup의 정의를 살펴보자.

Definition. 다음 속성을 갖는 group G의 subgroup N을 normal subgroup이라고 부른다: 모든 a ∈ N와 모든 b ∈ G에 대하여 conjugate bab^-1은 N의 엘리먼트이다.

여기서 subgroup N이 꼭 kernel일 필요는 없다.

The kernel of a homomorphism is a normal subgroup.

위에서 살펴본 determinant의 kernel인 SL_n(ℝ)은 GL_n(ℝ)의 subgroup이고, {even permutation}이자 sign of permutation의 kernel인 A_n은 S_n의 subgroup 이다.

또한 abelian group의 subgroup은 모두 normal이다. 왜냐하면 G가 abelian이면, conjugate bab^-1 = a 이기 때문이다.

거꾸로 말하면, nonabelian group에서 subgroup은 모두가 normal일 필요는 없을 것이다. 예를 들어, A =

1	1
	1

  이고, B =

	1
1

  이면, BAB^-1 =

1
1	1

  이 된다. 여기서 (우상단 대각행렬 모양인) A ∈ T 이고, B ∈ GL₂(ℝ) 이지만, (좌하단 대각행렬 모양인) BAB^-1 ∉ T 이다.

normal group의 또다른 예로 center of a group G 가 있다. center subgroup은 Z 또는 Z(G) 이렇게 표기하며, G의 어떤 엘리먼트와 composition하는 경우에도 가환(commute)하는 성질을 갖는다.

Z = {z ∈ G | zx = xz for all x ∈ G}

모든 group의 center는 normal subgroup이다. 예를 들어 GL_n(ℝ)의 center는 scalar matrix의 group(cI) 이다.

Homomorphism에 대하여 다루기에 앞서 아래에 위키피디아 한국어 페이지에서 인용된 내용을 살펴보자.

추상대수학에서, 준동형(準同型, 영어: homomorphism) 또는 준동형 사상(準同型寫像)은 두 구조 사이의, 모든 연산 및 관계를 보존하는 함수이다. 이들은 범주의 사상을 이룬다.

설명에서 Homomorphism이란 '준동형'이며 직감적으로 동형, 즉 Isomorphism에서 뭔가가 빠져 있는 것 같다는 느낌이 든다.

group G와 G'이 있을 때, Homomorphism이란 φ: G → G' 매핑으로 아래의 룰을 만족한다.

φ(ab) = φ(a)φ(b)

여기서 a, b ∈ G 이다.

엇, 그런데 이건 Isomorphism의 정의랑 같다??? Homomorphism이 Isomorphism과 다른 점은 φ 매핑이 일대일 대응(bijective)하지 않아도 된다는 점이다.

아래의 매핑들은 모두 Homomorphism이다.

1. the determinant function det: GL_n(ℝ) → ℝ^×
2. the sign of a permutation sign: S_n → {±1}
3. the map φ: ℤ⁺ → G defined by φ(n) = aⁿ, where a is a fixed element of G
4. the inclustion map i: H → G of a subgroup H into a group G, defined by i(x) = x

가장 단순한 예제인 두 번째 b의 경우, 매핑이 다대일 사상이기 때문에 Isomorphism은 아니다. 하지만 φ(ab) = φ(a)φ(b) 을 만족하기 때문에 Homomorphism이 된다.

Proposition. group간 Homomorphism인 φ: G → G'은 identity를 identity로 사상하고, inverse를 inverse로 사상한다. 다시말해서, φ(1_G) = 1_G' 이며, φ(a^-1) = φ(a)^-1 이다.

Proof. 1 = 1 · 1 이고, φ가 homomorphism이기 때문에 φ(1) = φ(1 · 1) = φ(1)φ(1) 이다. 양 끝단 변의 φ(1)을 소거하면, 1 = φ(1) 이 된다. 그리고 φ(a^-1)φ(a) = φ(a^-1a) = φ(1) = 1 이고, 같은 방식으로 φ(a)φ(a^-1) = 1 이다. 따라서 φ(a^-1) = φ(a)^-1 (양변에 φ(a)^-1 을 곱함) 이다(끝).

isomorphism 중에는 (헷갈리게도) group G에서 자기자신으로 대응되는 isomorphism도 있을 수 있다.

φ: G → G

이러한 isomorphism을 'automorphism of G' 라고 한다. 당연히 identity map은 automorphism이다. 다른 예를 들면, group G = {1, x, x²} 를 order 3짜리 cyclic group이라고 하자(x³ = 1). 그러면 x와 x²을 서로 교환하는(interchange) 치환(transposition)은 automorphism of G 이다(φ 를 해당 치환으로 두는 것이다).

1 ⇝ 1
x ⇝ x²
x² ⇝ x

여기서 x² 도 x와 마찬가지로 이 group의 order 3인 엘리먼트 중 하나이다. x²를 y라고 부른다면, y에 의해 생성(generate)된 cyclic subgroup {1, y, y²} 을 만들 수 있다(y² = x).

이번엔 conjugation을 살펴보자. b ∈ G 를 고정된 엘리먼트라고 하자. 여기서 conjugation by b 란 G 에서 자기 자신으로 대응되는 φ 매핑을 아래와 같이 정의한 것이다.

φ(x) = bxb^-1

위 매핑은 automorphism이다. 우선 아래와 같이 group들 간 law of composition이 compatible 하다.

φ(xy) = bxyb^-1 = bxb^-1byb^-1 = φ(x)φ(y)

그리고 이 매핑은 inverse function이 있기 때문에 일대일 대응 매핑이다. inverse function은 바로 conjugation by b^-1 이다.

만일 이 group이 abelian 이라면(commutative 한 것), conjugation은 identity map: bab^-1 = abb^-1 = a 이 된다. 다시 말해서 noncommutative group은 자명하지 않은(nontrivial) conjugation을 갖는다는 것이다(nontrivial automorphisim).

bab^-1 의 결과 엘리먼트를 conjugate of a by b 라고 부른다. 그리고 group G에서 두 엘리먼트 a, a'가 a' = bab^-1 라면, 이 둘을 conjugate 라고 부른다.

a의 conjugate는 a와 (order가 같은 등) 매우 비슷하게 동작한다. conjugate는 a를 automorphism에 의해 사상시킨(image)것이기 때문이다.

끝으로 conjugation을 이용하면 재미난 동작을 만들어 낼 수 있다. a'을 bab^-1 라고 하면 아래와 같이 된다.

ba = a'b

ba(b^-1b) 이기 때문이다. 위 식을 통해 conjugation by b가 b를 다른 편으로 옮길 때 a가 어떻게 변하느냐를 나타내는 것이라고 생각할 수도 있다(b의 위치가 바뀌고 a는 a'으로 변화함).

앞서 group G와 G'간의 대응(correspondence)관계를 아래와 같이 표현했다.

G ↔ G'

이와 같은 양방향 대응관계를 단방향으로 표현하기 위해 함수 표현식을 사용하거나 맵(map) 표현식을 사용할 수 있다. 맵 표현식을 사용하면 map φ: G → G' 이렇게 된다. 즉, 'G 에서 G'으로 가는 isomorophism φ'는 law of composition을 호환하는 일대일대응 맵(bijective map) 이 되겠다. law of composition을 호환한다는 말의 의미를 수식으로 쓰기 위해 대응관계 표현을 φ 함수를 사용하여 아래와 같이 쓸 수 있다.

φ(ab) = φ(a)φ(b), for all a, b ∈ G

위 식에서 우변은 group G에서 a와 b를 곱하여 φ 함수를 적용한다는 의미이고, 좌변은 이전에 a', b'을 나타내던 φ(a)와 φ(b) 를 G'에서 곱한다는 의미이다. group에서 곱한다는 말은 해당 group의 law of composition을 써서 composition 한다고 생각하면 된다. 이걸 다시 아래와 같이 쓸 수도 있다.

(ab)' = a'b'

물론 domain(정의역)과 range(치역)를 바꾸어도 된다. 즉, φ^-1: G' → G 이것도 성립한다.

다시 정리하면, 두 group G와 G'간에 φ G → G' 대응을 갖는 isomorphism이 존재한다면 이 둘을 isomorphic 하다고 한다. 두 group간 isomorphic을 나타내기 위해서 ≈ 기호를 사용할 것이다. 위키피디아 페이지 에서는 ≅ 기호를 사용하는데 책에서는 ≈ 기호를 쓴다.

G ≈ G' means G is isomorphic to G'

서로 다른 law of composition을 갖는 group간의 isomorphism에 대한 예를 살펴보자. infinite cyclic group C = {..., a^-2, a^-1, 1, a, a², ...} 는 아래 매핑에 의하여 group ℤ⁺와 isomorphism 관계를 이루게 된다.

φ: ℤ⁺ → C

여기서 φ(n) = aⁿ 이다.

주목해야하는 점은 law of composition이 domain(정의역)에서는 덧셈이고 range(치역)에서는 곱셈이라는 것이다. 이런 경우 isomorphism group 들을 φ 함수의 관계식으로 나타내면 위에서 본 것과는 달리 φ(m + n) = φ(m)φ(m) 또는 a^m+n = a^maⁿ 이렇게 된다.

이번에는 cyclic group간의 예를 들어보자. 두 cyclic group이 각각 엘리먼트 x와 y로 생성(generate)되었고, 둘 다 같은 order를 갖는다고 해 보자. 그러면 xⁱ에서 yⁱ로 대응되는 매핑은 isomorphism 이다. 즉, 같은 order를 갖는 두 cyclic group은 서로 isomorphic 이다.

다시 또 정리하자면, 두 group G와 G'이 isomorphic 하다는 것은 φ: G → G' 의 대응 관계를 갖는 isomorphism, 즉 law of composition을 호환하는 일대일대응 매핑(bijective map)이 있을 경우이다.

그리고 어떤 group G에 isomorphic한 group들을 모아서 isomorphism class 라고 부른다. isomorphism class 안의 어떤 두 group은 서로 isomorphic 하다.

Isomorphism은 우리말로 하면 '동형사상'이다. 위키피디아 한국어 페이지에서는 '서로 구조가 같은 두 대상 사이에, 모든 구조를 보존하는 사상이다'라고 설명한다. 이게 무슨 말인가?

두 group G와 G'이 있을 때 G의 모든 group 속성을 G'이 따를 경우 이 둘을 isomorphic하다 라고 한다.

예를 들어 group G가 아래와 같은 형태의 실수 행렬일 경우,

1	x
	1

위와 같은 형태의 행렬들은 GL₂(ℝ)의 subgroup 이며, 이러한 행렬 두 개를 곱하면 아래와 같이 우상단(1,2) 성분들이 더해지는 형태가 된다.

1	x
	1

 

1	y
	1

  =

1	(x + y)
	1

그래서 이런 형태의 행렬들을 서로 곱할 때에는 자연스럽게 우상단 entry만 보게 된다. 이 상황을 가리켜 group G가 실수 덧셈 group(additive group of real numbers)에 isomorphic 하다고 한다.

위의 예제를 보아도 isomorphism을 명확하게 하기가 어렵다. 다시 정리하면, 두 group의 모든 엘리먼트들을 일대일 대응(bijective correspondence)으로 연결시키는 것이다. 여기서 같은 group의 엘리먼트들을 composition하여 나온 결과 엘리먼트도 역시 다른 group의 대응되는 엘리먼트를 composition한 결과 엘리먼트와 일대일 대응되어야 한다(compatible with the laws of composition). 헉헉.

G ↔ G'

즉, G와 G'은 다음의 속성을 갖는다: a, b ∈ G 가 a', b' ∈ G' 에 대응(correspond)된다면, G에서 composition된 ab도 역시 G'에서 composition된 a'b'에 대응(correspond)된다. 이 내용을 만족할경우 한 group의 모든 속성은 (대응을 통해) 다른 group으로 이어질 수 있다.

예를 들어 G의 identity 엘리먼트도 G'으로 대응된다. group G identity 엘리먼트를 1이라고 하고 이게 group G'의 엘리먼트 ϵ' 에 대응된다고 하자. 그리고 G'의 임의의 엘리먼트 a'은 G의 엘리먼트 a에서 대응된다고 해 보자. 위에서 내린 가정에 의하면 composition한 결과도 똑같이 대응되어야 한다. group G에서 1a = a 이므로, group G'에서는 ϵ'a' = a' 이 되어야 한다. 따라서 ϵ' = 1' 이 되는 것이다.

다른 예를 들면, 서로 isomorphic한 group들 간에는 대응되는 엘리먼트의 order 또한 같다. group G에서 a가 group G'의 a'에 대응된다면, a^r = 1 이면 역시 a'^r = 1 이게 된다.

이렇게 서로 isomorphic한 group들이 같은 group 속성을 갖기 때문에 종종 이들을 같이 묶어서 구별하기도 한다. 예를 들어 한 symmetric group S_n이 어떤 permutation matrix group (GL_n(ℝ)의 subgroup)과 서로 isomorphic 하다면, 경우에 따라서 이 둘을 서로 구별 않고(blur the distinction) 사용할 수 있다.

Cyclic subgroup 역시 group 챕터에서 자주 등장하는 개념이다.

group G의 임의의 엘리먼트 x를 가지고 cyclic subgroup 이란 것을 생성(generate)해낼 수 있다. 여기서는 곱셈을 law of composition 으로 표기할 것이다. x에 의해 생성되는 cyclic subgroup H는 아래와 같이 x를 거듭 composition한 것이다.

H = {..., x^-2, x^-1, 1, x, x², ...}

이것은 x를 포함하는 가장 작은 G의 subgroup 이 된다. 그리고 또한 주목해야하는 내용은 xⁿ이 group G의 엘리먼트 중 하나를 나타낸다는 것이다.

x를 거듭 composition 하다보면 반복이 일어날 수도 있다. 예를 들어 x = 1 이면 모든 엘리먼트들은 1이 된다. 반복성을 가지고 경우를 나누어 보면 1) 모든 x의 거듭 composition이 다를 경우와 2) 그렇지 않은 경우로 나뉜다. 전자의 경우 group H를 infinite cyclic 이라고 부른다.

반복성을 띌 경우를 생각해 보자. 예를 들어 xⁿ = x^m 일 경우 n > m 이라면 x^{n - m} = 1 이 된다. 이는 곧 x의 0이 아닌 거듭제곱이 1이 된다는 뜻이다. 이와 관련하여 아래 Lemma를 살펴보자.

Lemma. xⁿ = 1 인 n 으로 이루어진 집합 S는 ℤ⁺의 subgroup 이다.

Proof. x^m = 1 이고 xⁿ = 1 이라면 x^m+n = x^mxⁿ = 1 이 된다. 따라서 m, n ∈ S 이라면 m + n ∈ S 이다. 이는 subgroup의 첫 번째 axiom(Closure: If a ∈ H and b ∈ H, then ab ∈ H)을 만족한다. 또한 x⁰ = 1 이기 때문에 두 번째 axiom(Identity: 1 ∈ H)도 만족한다. 마지막으로 xⁿ = 1 이라면 x^-n = xⁿx^-n = x⁰ = 1 이다. 따라서 n ∈ S 라면 또한 −n ∈ 이 된다(끝).

위의 Lemma와 ℤ⁺의 subgroup이 bℤ 의 형태를 갖는다는 Proposition을 상기하면서 S = mℤ 인 group을 만들 수 있다. 여기서 m은 x^m = 1 인 가장 작은 양의 정수이다. S에서 m 개의 엘리먼트들 1,x,...,x^m-1 은 모두 서로 다르다. 그리고 x의 거듭 composition인 xⁿ 들 중에서는 서로 같은 것들이 존재한다. 나머지(remainder) 표현식으로 정리하면 n = mq + r 이 되는데 나머지(reminder) r은 나눔수인 m 보다 작다. 이걸 다시 지수표현식으로 정리하면, xⁿ = (x^m)^qx^r = x^r 이 된다(x^m = 1). 따라서 group H는 아래와 같이 m개의 엘리먼트로 구성된다.

H = {1, x, ... , x^{m - 1}}, these posers are distinct, and x^m = 1

위와 같은 group을 'cyclic group of order m' 이라고 부른다.

어떤 group G의 order는 그러니까 엘리먼트의 갯수이다. order는 아래와 같이 절대값을 쓸때와 같은 형식으로도 표기한다.

| G | = number of elements of G

order는 물론 무한대가 될 수도 있다.

그리고 어떤 group의 엘리먼트가 order m을 갖는다는 말은 그 엘리먼트가 생성(generate)하는 cyclic subgroup이 order m 을 갖는다는 뜻이다. 그러면 m은 x^m = 1 인 가장 작은 양의 정수가 된다.

예를 들어 행렬

1	1
-1	0

  은 GL₂(ℝ) 에서 order 6인 엘리먼트이다. 즉, 이 행렬이 생성(generate)하는 cyclic subgroup은 order 6을 갖는다. 그러나 행렬

1	1
0	1

  은 무한대의 order인 엘리먼트이다. 왜냐하면 아래와 같이 거듭 composition이 계속해서 다른 값을 생성해내기 때문이다.

n power of

1	1
0	1

  =

1	n
0	1

이번에는 덧셈을 law of composition으로 하는 정수 group인 ℤ⁺ 의 subgroup 들을 살펴보자. 우선 특정 정수 b의 배수로 이루어진 ℤ⁺ 의 subgroup은 아래와 같이 쓸 수 있다.

bℤ = {n ∈ ℤ | n = bk for some k ∈ ℤ}.

그러면 여기서 (놀랍게도!) ℤ⁺ 의 모든 subgroup은 위와 같은 형태가 된다는 명제가 하나 나온다.

Proposition. 모든 정수 b에 대해서 부분집합(subset) bℤ 는 ℤ⁺의 subgroup이다. 게다가 (심지어) ℤ⁺의 모든 subgroup H는 'H = bℤ for some integer b' 이렇게 쓸 수 있다!

책에서는 bℤ가 ℤ⁺의 subgroup이라는 것에 대한 증명은 생략하고 모든 subgroup이 bℤ 와 같은 형태라는 것만 증명한다.

우선 H를 ℤ⁺의 subgroup이라고 하자. law of composition이 덧셈이고, identity 엘리먼트는 0이고, 엘리먼트 a의 inverse는 −a 이므로 아래와 같은 axiom(룰) 들을 정리할 수 있다.

1. if a ∈ H and b ∈ H, then a + b ∈ H;
2. 0 ∈ H;
3. if a ∈ H, then −a ∈ H.

두 번째 axiom 에 의해서 0이 H의 유일한 엘리먼트일 경우(자명한 subgroup {0}), H = 0ℤ 이므로 해당 명제는 만족한다.

그리고 a ∈ H인 a가 음수이든 양수이든 세 번째 axiom에 의해서 −a는 H에 포함된다.

그리고 H에서 가장 작은 양의 정수를 뽑아서 H = bℤ 라고 해보자. 이것을 다르게 표현하면 양의 정수 k에 대해서 bk = b + b + ... + b (k 번 반복) 이 된다. 이를 첫 번째 axiom 과 induction을 사용하면 bk는 H의 엘리먼트임을 만족하게 된다. k가 음수인 경우는 -bk 이므로 역시 H의 엘리먼트임을 만족한다(세 번째 axiom).

마지막으로 H ⊂ bℤ 인 것을 보이자. 이 말은 H의 모든 엘리먼트 n ∈ H 가 b의 배수인 정수라는 말이다. n을 b의 배수와 나머지 형태로 수식으로 표현하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

n = bq + r

여기서 q, r 은 정수이고 나머지(remainder)인 r은 0 ≤ r < b 의 범위를 갖는다. 그러면 n과 bq는 모두 H의 엘리먼트이다(위의 내용과 이어지니 잘 따라오자). 그리고 위 식을 r에 대하여 고쳐쓰면 r = n - bq 가 되는데 이것 역시 첫 번째 axiom과 세 번째 axiom에 의하여 H의 엘리먼트가 된다. 또한 b가 H에서 가장 작은 양의 정수라고 정했고 0 ≤ r < b 이니 r = 0 이고 n = bq ∈ bℤ 이다(끝).

한편, subgroup bℤ는 b로 나누어 떨어지는 정수들이다. 그렇다면 여기서 두 정수 a와 b를 정하고 a와 b로 생성되는 subgroup을 만들어 볼 수 있을 것이다. 책에서는 'subgroups which are generated by two integers a, b' 라고 표현한다. 즉 아래 집합은 ℤ⁺의 subgroup 이다.

aℤ + bℤ = {n ∈ ℤ | n = ar + bs for some integers r, s}

위와 같은 형태로 구성된 subgroup을 subgroup generated by a and b 라고 한다. 이런 subgroup은 두 엘리먼트를 모두 포함하는 가장 작은 규모의 subgroup 이다.

앞의 proposition을 잠시 떠올려보면(bℤ 형태의 subgroup) aℤ + bℤ 이것도 어떤 정수 d 에 의해서 dℤ 로 표현될 수 있다(ℤ⁺의 subgroup이기 때문에). 즉 d 로 나뉘어 떨어지는 정수들의 집합인 것이다. 여기서 d는 'greatest common divisor of a and b'라고 불린다. 이어서 아래 proposition을 살펴보자.

Proposition. a, b를 0이 아닌 정수라고 하자. 그리고 d는 subgroup aℤ + bℤ 를 generate하는 양의 정수라고 하자. 그러면,

1. d can be written in the form d = ar + bs for some integers r and s.
2. d divides a and b
3. If an integer e divides a and b, it also divides d

위 proposition을 증명해보자. 우선 첫 번째 assertion은 d가 subgroup aℤ + bℤ 의 generator 라고 한 사실을 다시 적은 것일 뿐이다. 두 번째는 dℤ = aℤ + bℤ 이기 때문에 d 가 a와 b를 나눌 수 있다. 마지막으로 e가 a와 b를 나눌 수 있다면 a와 b는 eℤ 의 형태가 된다. 이 말은 어떤 정수 n = ar + bs 가 eℤ 에 포함된다는 이야기이고, d역시 이러한 형태이기 때문에 e가 d를 나눌 수 있게된다(끝).

집합과 부분집합의 관계가 있듯이 group이 있으면 subgroup이 있을 수 있다. 어떤 group G의 subgroup H는 아래와 같은 성질을 갖는다.

1. Closure: If a ∈ H and b ∈ H, then ab ∈ H
2. Identity: 1 ∈ H
3. Inverses: If a ∈ H, then a^-1 ∈ H

위에서 첫 번째 Clusure는 group G의 law of composition이 subgroup H에도 사용될 수 있다는 것을 시사한다. 이렇게 부모 group의 law of composition과 subgroup의 그것이 같을 경우 induced law of composition 이라고 부른다.

두 번째(Identity)와 세 번째(Inverse)에서는 H가 induced law of composition에 의해 group으로 구성됨을 나타낸다. Associative에 대해서 이야기하지 않는 이유는 group G에서 정의한 law of composition이 이미 Associative하기 때문이다.

모든 group은 두 개의 자명한(obvious) subgroup을 가진다. (말장난같아 보이지만) 자기 자신과 {1} 이다. {1} 은 identity 엘리먼트만으로 이루어진 group이다. 이 두 가지에 해당되지 않는 subgroup을 다시 proper subgroup 이라고 한다.

subgroup의 예를 들어보면 아래와 같은 것들이 있다.

1. The set T of invertible upper triangular 2 × 2 matrices
   

   a	b
   	d

     (a, d ≠ 0)
   is a subgroup of the general linear group GL₂(ℝ).
2. The set of complex numbers of absolute value 1 ‐ the set of points on the unit circle in the complex plane ‐ is a subgroup of ℂ^×.