Cyclic subgroup

Cyclic subgroup 역시 group 챕터에서 자주 등장하는 개념이다.

group G의 임의의 엘리먼트 x를 가지고 cyclic subgroup 이란 것을 생성(generate)해낼 수 있다. 여기서는 곱셈을 law of composition 으로 표기할 것이다. x에 의해 생성되는 cyclic subgroup H는 아래와 같이 x를 거듭 composition한 것이다.

H = {..., x^-2, x^-1, 1, x, x², ...}

이것은 x를 포함하는 가장 작은 G의 subgroup 이 된다. 그리고 또한 주목해야하는 내용은 xⁿ이 group G의 엘리먼트 중 하나를 나타낸다는 것이다.

x를 거듭 composition 하다보면 반복이 일어날 수도 있다. 예를 들어 x = 1 이면 모든 엘리먼트들은 1이 된다. 반복성을 가지고 경우를 나누어 보면 1) 모든 x의 거듭 composition이 다를 경우와 2) 그렇지 않은 경우로 나뉜다. 전자의 경우 group H를 infinite cyclic 이라고 부른다.

반복성을 띌 경우를 생각해 보자. 예를 들어 xⁿ = x^m 일 경우 n > m 이라면 x^{n - m} = 1 이 된다. 이는 곧 x의 0이 아닌 거듭제곱이 1이 된다는 뜻이다. 이와 관련하여 아래 Lemma를 살펴보자.

Lemma. xⁿ = 1 인 n 으로 이루어진 집합 S는 ℤ⁺의 subgroup 이다.

Proof. x^m = 1 이고 xⁿ = 1 이라면 x^m+n = x^mxⁿ = 1 이 된다. 따라서 m, n ∈ S 이라면 m + n ∈ S 이다. 이는 subgroup의 첫 번째 axiom(Closure: If a ∈ H and b ∈ H, then ab ∈ H)을 만족한다. 또한 x⁰ = 1 이기 때문에 두 번째 axiom(Identity: 1 ∈ H)도 만족한다. 마지막으로 xⁿ = 1 이라면 x^-n = xⁿx^-n = x⁰ = 1 이다. 따라서 n ∈ S 라면 또한 −n ∈ 이 된다(끝).

위의 Lemma와 ℤ⁺의 subgroup이 bℤ 의 형태를 갖는다는 Proposition을 상기하면서 S = mℤ 인 group을 만들 수 있다. 여기서 m은 x^m = 1 인 가장 작은 양의 정수이다. S에서 m 개의 엘리먼트들 1,x,...,x^m-1 은 모두 서로 다르다. 그리고 x의 거듭 composition인 xⁿ 들 중에서는 서로 같은 것들이 존재한다. 나머지(remainder) 표현식으로 정리하면 n = mq + r 이 되는데 나머지(reminder) r은 나눔수인 m 보다 작다. 이걸 다시 지수표현식으로 정리하면, xⁿ = (x^m)^qx^r = x^r 이 된다(x^m = 1). 따라서 group H는 아래와 같이 m개의 엘리먼트로 구성된다.

H = {1, x, ... , x^{m - 1}}, these posers are distinct, and x^m = 1

위와 같은 group을 'cyclic group of order m' 이라고 부른다.

어떤 group G의 order는 그러니까 엘리먼트의 갯수이다. order는 아래와 같이 절대값을 쓸때와 같은 형식으로도 표기한다.

| G | = number of elements of G

order는 물론 무한대가 될 수도 있다.

그리고 어떤 group의 엘리먼트가 order m을 갖는다는 말은 그 엘리먼트가 생성(generate)하는 cyclic subgroup이 order m 을 갖는다는 뜻이다. 그러면 m은 x^m = 1 인 가장 작은 양의 정수가 된다.

예를 들어 행렬

1	1
-1	0

  은 GL₂(ℝ) 에서 order 6인 엘리먼트이다. 즉, 이 행렬이 생성(generate)하는 cyclic subgroup은 order 6을 갖는다. 그러나 행렬

1	1
0	1

  은 무한대의 order인 엘리먼트이다. 왜냐하면 아래와 같이 거듭 composition이 계속해서 다른 값을 생성해내기 때문이다.

n power of

1	1
0	1

  =

1	n
0	1