Congruence Relation & Coset

Equivalence Relation in Homomorphism = Congruence Relation = Coset

들어가기에 앞서 Homomorphism에 대해 복습해보자.

Group G와 G'이 있을 때, Homomorphism이란 φ: G → G' 매핑으로 다음 룰을 만족한다: φ(ab) = φ(a)φ(b)

매핑 φ:G ⟶ G'을 Homomorphism 이라고 하자. 여기서 매핑 φ에 의해 G에 Equivalence Relation이 존재하는지를 살펴보자. 이는 Homomorphism에 fibres가 존재하는지를 알아보는 것이기도 한다. 이 경우, 즉 Homomorphism인 φ에서 아래와 같이 Equivalence한 조건일 경우를 Congruence 라고 하고, 기호로는 ~(tilde) 가 아닌 ≡(삼지창등호?) 으로 표기한다.

a ≡ b   if   φ(a) = φ(b)

예를 들어 φ:ℂ^× ⟶ ℝ^× 가 φ(a) = | a | 으로 절대값을 취하는 Homomorphism 매핑 이라고 하자. 이걸로 정의된 Equivalence Relation에 의하면 | a | = | b | 일 경우 a ≡ b 이게 된다. 여기에서 fibres는 아래 그림과 같은 Concentric Circles(동심원)이 된다. 그리고 이들 fibres는 매핑된 이미지 im φ(양의 실수들의 집합)와 bijective한(일대일대응) 관계를 갖는다.

Congruence Relation을 정의하는 것은 앞서 나온 ' a ≡ b   if   φ(a) = φ(b) ' 외에도 다른 방법들이 많은데 이들 중 이번에 소개하는 내용이 가장 중요하다.

Proposition. φ:G ⟶ G'을 Group Homomorphism 이며, Kernel N을 갖고, a와 b가 G의 엘리먼트라고 하자. 그러면 φ(a) = φ(b) 라는 것은 반드시(if and only if) n ∈ N인 어떤 엘리먼트 n에 대하여 b = an 이어야 한다. 또는 같은 의미로 a^-1b ∈ N 이어야 한다.

Proof. φ(a) = φ(b) 라고 하자. 그러면 φ(a)^-1φ(b) = 1 이고, φ가 Homomorphism 이기 때문에 아래 두 식을 사용하면,

φ(ab) = φ(a)φ(b)
φ(a^-1) = φ(a)^-1 ... since a group homomorphism carries the identity to identity and inverses to inverses

φ(a^-1b) = 1 이렇게 쓸 수 있다. 그리고 Kernel의 정의를 다시 떠올려보자. Kernel N은 x ∈ G 에서 φ(x) = 1 인 모든 엘리먼트 x를 말한다. 따라서, φ(a^-1b) = 1 라는 것은 곧 a^-1b ∈ N 이며, a^-1b = n (for some n ∈ N) 이 된다. 바꾸어 말하면, 만일 b = an 이고, n ∈ N 일 경우, φ(b) = φ(a)φ(n) = φ(a)1 = φ(a) 가 된다(끝).

여기서 an 과 같은 형태(어떤 엘리먼트와 Kernel 중의 한 엘리먼트와의 composition)를 갖는 엘리먼트들의 집합을 Coset of N in G 라고 하고, aN 이렇게 쓴다.

aN = { g ∈ G | g = an for some n ∈ N}

즉, Coset aN은 Group 내에서 a와 Congruent한 모든 엘리먼트 b가 된다.

한편, Congruence Relation 인 a ≡ b는 Group G를 Partition 하여 Congruence Class로 만든다. 결국 이 Congruence Class가 Coset aN 이다. 이 Coset 들은 φ 매핑의 fibres 이다. 위의 예제 그림 5.12 에서 보이는 각각의 동심원들이 바로 절대값으로 매핑되는 Homomorphism의 Coset 들인 것이다.

그런데 만일 어떤 Homomorphism에서 Kernel이 Trivial Subgroup, 즉 1 ⟶ 1' 하나로 구성된 경우라면 어떨까?

Corollary. 어떤 Group간 Homomorphism φ:G ⟶ G'가 Injective 할 경우 반드시(if and only if) Kernel은 Trivial Subgroup인 {1} 이 된다.

Injective란 우리말로 단사함수이며 f(x₁) = f(x₂) 일 경우는 반드시 x₁ = x₂ 이며, x₂ ≠ x₂ 이면 f(x₁) ≠ f(x₂) 가 되는 함수이다. 위의 그림에서 aN이 φ(a)로 대응되는데 Kernel이 한개뿐이라면 당연히 단사함수가 될 것이다.

위의 Corollay를 가지고 어떤 Homomorphism이 Isomorphism인지를 검증할 수 있다. Isomorphism은 양방향이며 Bijective 해야 한다. 즉, ker φ = {1} 이라면, 그 φ는 Injective 할 것이고, 또한 im φ = G' 이 될 것이다. 즉, φ 는 Surjective(전사함수: 치역과 공역이 같음)한 것이다. Injective하고 Surjective하니 Bijective할 것이고 Homomorphism이니 결국은 Isomorphism이 되겠다.