다시 한 번 집고 넘어가보자. Group G의 Subgroup H의 Left Coset을 아래와 같이 정의했다.

위 식을 가지고 Right Coset을 정의하면 아래와 같다.

Right Coset들도 역시 Congruence Relation을 이루는 Equivalence Class이다. Left Coset의 Equivalence Relation과 비교해보자.

Right Coset과 Left Coset은 일치하지 않을 수 있다. Cosets 관련 포스트에서 계속 예로 들어온 S₃ 과 Subgroup {1, xy} 에서의 Right Coset은 아래와 같다.

반면에 Left Coset은 아래와 같았다.

이렇게 Left와 Right Coset으로 나뉘어진 Partition은 다를 수 있으나.., 그런데 N이 Normal Subgroup일 경우엔 Left와 Right Coset이 서로 같게 된다.

여기서 Normal Subgroup이 뭐였는지에 대해 잠깐 복습해보자.

Definition. 다음 속성을 갖는 Group G의 Subgroup N을 Normal Subgroup이라고 부른다: 모든 a ∈ N와 모든 b ∈ G에 대하여 Conjugate bab^-1은 N의 엘리먼트이다. (여기서 Subgroup N이 꼭 Kernel일 필요는 없다)

다시 본론으로 돌아와서 Normal Subgroup으로 만들어진 Left와 Right Coset에 대해 살펴보자.

Proof. H가 Normal이라고 하자. 그러면 Normal의 정의에 의해 h ∈ H와 a ∈ G에 대하여

이게 된다. 제일 오른쪽 두 항이 서로 역이라서 소거되므로 둘은 같다.

H가 Normal Subgroup이기 때문에 (Normal의 정의에 의해) Conjugate 엘리먼트인 k = aha^-1 은 H의 엘리먼트이기도 하게된다. 따라서 엘리먼트 ah는 ah = ka 가 성립하고, 이 엘리먼트는 aH에도 속하고, Ha에도 속한다. 즉, aH ⊂ Ha 이며, aH ⊃ Ha 이므로 두 Coset들은 서로 같게 된다.

이번엔 반대로 H가 Normal이 아닌 경우를 생각해보자. 그러면 aha^-1 ∉ H인 엘리먼트 h ∈ H 와 a ∈ G 가 존재할 것이다. 그리고 ah는 Left Coset인 aH의 엘리먼트이지만 Right Coset인 Ha의 엘리먼트는 아니게 된다. 근데 만일에 ah가 Right Coset에도 포함된다고 생각해보자. ah = h'a for some h' ∈ H 이고, 그러면 aha^-1 = h' (aa^-1) ∈ H 이게 된다. 이러면 애초에 Normal이 아닌 조건, 즉 aha^-1 ∉ H 였으므로 모순이 된다. 따라서 Normal Subgroup이 아니면 Left Coset과 Right Coset이 같을 수가 없는 것이다.

한가지 더, aH와 Ha가 공통의 엘리먼트를 하나 갖고 있다고 하자. 그 엘리먼트는 분명히 a이다. 따라서 aH는 a말고 다른 Right Coset과 같은 것이 있을 수 없다. 이를 통해 Left Coset으로 나뉘어진 Partition과 Right Coset으로 나뉘어진 Partition이 같을 수가 없다는 것을 확인할 수 있다.

Equivalence Relation in Homomorphism = Congruence Relation = Coset

들어가기에 앞서 Homomorphism에 대해 복습해보자.

Group G와 G'이 있을 때, Homomorphism이란 φ: G → G' 매핑으로 다음 룰을 만족한다: φ(ab) = φ(a)φ(b)

매핑 φ:G ⟶ G'을 Homomorphism 이라고 하자. 여기서 매핑 φ에 의해 G에 Equivalence Relation이 존재하는지를 살펴보자. 이는 Homomorphism에 fibres가 존재하는지를 알아보는 것이기도 한다. 이 경우, 즉 Homomorphism인 φ에서 아래와 같이 Equivalence한 조건일 경우를 Congruence 라고 하고, 기호로는 ~(tilde) 가 아닌 ≡(삼지창등호?) 으로 표기한다.

예를 들어 φ:ℂ^× ⟶ ℝ^× 가 φ(a) = | a | 으로 절대값을 취하는 Homomorphism 매핑 이라고 하자. 이걸로 정의된 Equivalence Relation에 의하면 | a | = | b | 일 경우 a ≡ b 이게 된다. 여기에서 fibres는 아래 그림과 같은 Concentric Circles(동심원)이 된다. 그리고 이들 fibres는 매핑된 이미지 im φ(양의 실수들의 집합)와 bijective한(일대일대응) 관계를 갖는다.

Congruence Relation을 정의하는 것은 앞서 나온 ' a ≡ b   if   φ(a) = φ(b) ' 외에도 다른 방법들이 많은데 이들 중 이번에 소개하는 내용이 가장 중요하다.

Proposition. φ:G ⟶ G'을 Group Homomorphism 이며, Kernel N을 갖고, a와 b가 G의 엘리먼트라고 하자. 그러면 φ(a) = φ(b) 라는 것은 반드시(if and only if) n ∈ N인 어떤 엘리먼트 n에 대하여 b = an 이어야 한다. 또는 같은 의미로 a^-1b ∈ N 이어야 한다.

여기서 an 과 같은 형태(어떤 엘리먼트와 Kernel 중의 한 엘리먼트와의 composition)를 갖는 엘리먼트들의 집합을 Coset of N in G 라고 하고, aN 이렇게 쓴다.

즉, Coset aN은 Group 내에서 a와 Congruent한 모든 엘리먼트 b가 된다.

한편, Congruence Relation 인 a ≡ b는 Group G를 Partition 하여 Congruence Class로 만든다. 결국 이 Congruence Class가 Coset aN 이다. 이 Coset 들은 φ 매핑의 fibres 이다. 위의 예제 그림 5.12 에서 보이는 각각의 동심원들이 바로 절대값으로 매핑되는 Homomorphism의 Coset 들인 것이다.

그런데 만일 어떤 Homomorphism에서 Kernel이 Trivial Subgroup, 즉 1 ⟶ 1' 하나로 구성된 경우라면 어떨까?

Injective란 우리말로 단사함수이며 f(x₁) = f(x₂) 일 경우는 반드시 x₁ = x₂ 이며, x₂ ≠ x₂ 이면 f(x₁) ≠ f(x₂) 가 되는 함수이다. 위의 그림에서 aN이 φ(a)로 대응되는데 Kernel이 한개뿐이라면 당연히 단사함수가 될 것이다.

위의 Corollay를 가지고 어떤 Homomorphism이 Isomorphism인지를 검증할 수 있다. Isomorphism은 양방향이며 Bijective 해야 한다. 즉, ker φ = {1} 이라면, 그 φ는 Injective 할 것이고, 또한 im φ = G' 이 될 것이다. 즉, φ 는 Surjective(전사함수: 치역과 공역이 같음)한 것이다. Injective하고 Surjective하니 Bijective할 것이고 Homomorphism이니 결국은 Isomorphism이 되겠다.