Group - Law of composition

어떤 집합 S의 law of composition을 다음과 같이 정의해보자. 일단 집합 S에서 두 원소 a,b를 뽑는다. 그다음 그 둘을 조합해서 집합 S내의 다른 원소 p로 만든다고 하자.

위의 law of composition을 함수로 생각해보면, 이 함수는 S의 원소 두개를 인자로 받아서 S의 원소 하나로 출력한다. 일종의 map 과 같은 것이다.

S × S → S
a,b ↝ p.

여기서 S × S 는 집합 S내의 원소 pair (a, b)의 product를 의미한다.

p = f(a, b)와 같은 functional notiation 은 불편해서 잘 쓰이지 않는다. 대신 law of composition의 종류 혹은 성질에 따라 아래와 같이 덧셈이나 곱셈 등의 많이 쓰인다.

p = ab, a × b, a ◦ b, a + b, and so on.

그리고 a와 b를 composition 한 것이 곱셈의 성질을 갖는다면 이걸 product 라고 부를 것이고, 덧셈의 성질을 가질 경우 sum 이라고 부를 것이다.

그러면 n × n matrix 들의 집합에서 law of composition이 matrix multiplication 인 Group을 예로 들어 자세히 살펴보자.

Group에서 중요한 사실 중 하나는 S의 두 원소 a와 b를 composition한 결과인 ab가 역시 S의 원소라는 점이다. 예를 들어 a =  

1	3
0	2

  , b =  

1	0
2	1

  라면 이 둘의 product인 ab는  

7	3
4	2

  가 된다. 그리고 product 연산이 이루어져서 일단 ab가 되고 나면 다시는 원래 원소였던 a와 b로 복구할 수 없게된다.

law of composition에는 associative 와 commutative 라는 특성이 있을 수 있다. associative는 아래와 같은 결합법칙을 의미한다.

(ab)c = a(bc)

그리고 commutative는 아래와 같이 교환법칙을 말한다.

ab = ba

matrix multiplication이 law of composition인 경우에는 associative 하지만 commutative 하지는 않다. 반면, 정수집합에서 덧셈이 law of composition인 경우에는(ℤ⁺) commutative 까지 가능하다. 때문에 보통 associative 한 Group에서 composition을 표기할 경우 곱셈 방식으로 표기하고(commutative 여부는 관심없음), commutative 까지 한 경우는 덧셈 방식으로 표기한다.

일반적으로 associative 한지 여부가 commutative 한지 여부보다 더 근본적으로 중요하게 여겨진다. 그 근거 중에 하나는 composition이 여러개의 함수들인 경우 이들 함수들을 조합하여 하나의 함수로 나타낼 수 있기 때문이다.

예를 들어 집합 T가 있고 T에서 T로 가는(T를 입력으로 받고 T를 내놓는) 함수 g와 f가 있다고 하자. 그리고 g ◦ f 를 조합된 map, t ↝ g(f(t)) 를 나타낸다고 하자. 그리고 S를 T에서 T로 가는 매핑들의 집합이라고 한다면(S = Maps(T,T)), 하나로 조합된 g ◦ f 이 모든 S의 경우에 대해서 law of composition이 될 수가 있다. 함수 레벨에서 하나로 합쳐써도 된다는 이야기다.

다시 단순한 예를 들어보자. 집합 T가 두 원소 a와 b를 가질 때 T에서 T로 가는 매핑의 종류는 모두 네 가지가 된다.

• i: the identity map defined by i(a) = a, i(b) = b;
• 𝜏: the transposition, defined by 𝜏(a) = b, 𝜏(b) = a;
• α: the constant function α(a) = α(b) = a;
• β: the constant function β(a) = β(b) = b.

이들 중 두개를 조합하여 하나의 law of composition을 만든다고 해 보면 그 경우들은 아래와 같이 multiplication table로 나타낼 수 있다.

그리고 이들 중 임의의 2개의 조합의 결과는 아래와 같이 보면 된다.

여기서 𝜏 ◦ α = β 인데 순서를 뒤바꾼 α ◦ 𝜏 = α 이다. 이걸 보면 함수들의 composition은 commutative 하지 않음을 알 수 있다.

방금전 살펴본 2개 함수 조합의 associative를 보다 일반적인 n개를 조합하는 경우로 확장하여 생각해보자.

a₁a₂...a_n = ?

이들을 어떻게 조합하여 하나의 연산으로 만들 수 있을까? 우선 익숙한 방법인 왼쪽부터 두 개씩 짝을지어 차근차근 조합해 나가는 경우가 있을 수 있다.

((a₁a₂)a₃)a₄ ...

만일 n=4 라면 위와 같은 경우를 포함해서 4가지 조합 방법이 있을 수 있다. 예를 들면 (a₁a₂)(a₃a₄) 같은. 그런데 만일 composition 연산이 associative 하다면 이 모든 경우의 함수 조합이 결과적으로는 동일하게 된다(induction으로 증명할 수 있는데 생략한다).