Homomorphisms (2): image, kernel and normal subgroup

모든 group간 Homomorphism φ는 image와 kernel이라는 두 개의 중요한 subgroup을 갖는다. image of a homomorphism φ: G → G'은 그냥 아래와 같이 매핑된 결과 이미지이다. Homomorphism은 bijective가 아니라는 것을 유념해두자.

im φ = {x ∈ G' | x = φ(a) for some a ∈ G}

이건 G' 나 혹은 φ(G) 이렇게 쓸 수도 있다.

kernel of φ 는 좀 더 미묘한데, kernel이란 G의 엘리먼트들 중에서 G'의 identity로 매핑되는 녀석들을 말한다.

ker φ = {a ∈ G | φ(a) = 1}

이건 G'의 identity 엘리먼트에 대해 역사상시킨 이미지라고 할 수 있다(φ^-1(1)). φ가 bijective 하지 않기 때문에 φ^-1은 여러개로 사상될 수 있겠다.

kernel은 G의 subgroup이다. 왜냐하면 a와 b가 ker φ안의 엘리먼트라면, φ(ab) = φ(a)φ(b) = 1 · 1 = 1 이며, 따라서 ab ∈ ker φ 이기 때문이다.

determinant 함수의 kernel은 determinant가 1인 행렬들로 이루어진 subgroup이다. 이 subgroup을 special linear group 이라고 부르고, SL_n(ℝ) 이라고 쓴다.

SN_n(ℝ) = {real n × n matrices A | det A = 1}

SL_n(ℝ)은 GL_n(ℝ)의 subgroup이다.

그리고 sign of a permutation sign: S_n → {±1} 이것의 kernel은 alternating group이라고 하고, A_n이라고 쓴다.

A_n = {even permutations}

kernel이 subgroup이라는 것 외에도 conjugate와 관련한 중요한 특징이 하나 더 있다. 만일 a가 ker φ 안의 엘리먼트이고 b가 group G안의 어떤 엘리먼트라면, conjugate bab^-1 은 ker φ 안의 엘리먼트이다. a ∈ ker φ 라면 φ(a) = 1 이라는 것을 염두해서 아래 수식을 살펴보면,

φ(bab^-1) = φ(b)φ(a)φ(b^-1) = φ(b)1(b^-1) = 1

이므로, bab^-1 ∈ ker φ 가 된다.

여기까지를 바탕으로 normal subgroup의 정의를 살펴보자.

Definition. 다음 속성을 갖는 group G의 subgroup N을 normal subgroup이라고 부른다: 모든 a ∈ N와 모든 b ∈ G에 대하여 conjugate bab^-1은 N의 엘리먼트이다.

여기서 subgroup N이 꼭 kernel일 필요는 없다.

The kernel of a homomorphism is a normal subgroup.

위에서 살펴본 determinant의 kernel인 SL_n(ℝ)은 GL_n(ℝ)의 subgroup이고, {even permutation}이자 sign of permutation의 kernel인 A_n은 S_n의 subgroup 이다.

또한 abelian group의 subgroup은 모두 normal이다. 왜냐하면 G가 abelian이면, conjugate bab^-1 = a 이기 때문이다.

거꾸로 말하면, nonabelian group에서 subgroup은 모두가 normal일 필요는 없을 것이다. 예를 들어, A =

1	1
	1

  이고, B =

	1
1

  이면, BAB^-1 =

1
1	1

  이 된다. 여기서 (우상단 대각행렬 모양인) A ∈ T 이고, B ∈ GL₂(ℝ) 이지만, (좌하단 대각행렬 모양인) BAB^-1 ∉ T 이다.

normal group의 또다른 예로 center of a group G 가 있다. center subgroup은 Z 또는 Z(G) 이렇게 표기하며, G의 어떤 엘리먼트와 composition하는 경우에도 가환(commute)하는 성질을 갖는다.

Z = {z ∈ G | zx = xz for all x ∈ G}

모든 group의 center는 normal subgroup이다. 예를 들어 GL_n(ℝ)의 center는 scalar matrix의 group(cI) 이다.