Isomorphisms (1)

Isomorphism은 우리말로 하면 '동형사상'이다. 위키피디아 한국어 페이지에서는 '서로 구조가 같은 두 대상 사이에, 모든 구조를 보존하는 사상이다'라고 설명한다. 이게 무슨 말인가?

두 group G와 G'이 있을 때 G의 모든 group 속성을 G'이 따를 경우 이 둘을 isomorphic하다 라고 한다.

예를 들어 group G가 아래와 같은 형태의 실수 행렬일 경우,

1	x
	1

위와 같은 형태의 행렬들은 GL₂(ℝ)의 subgroup 이며, 이러한 행렬 두 개를 곱하면 아래와 같이 우상단(1,2) 성분들이 더해지는 형태가 된다.

1	x
	1

 

1	y
	1

  =

1	(x + y)
	1

그래서 이런 형태의 행렬들을 서로 곱할 때에는 자연스럽게 우상단 entry만 보게 된다. 이 상황을 가리켜 group G가 실수 덧셈 group(additive group of real numbers)에 isomorphic 하다고 한다.

위의 예제를 보아도 isomorphism을 명확하게 하기가 어렵다. 다시 정리하면, 두 group의 모든 엘리먼트들을 일대일 대응(bijective correspondence)으로 연결시키는 것이다. 여기서 같은 group의 엘리먼트들을 composition하여 나온 결과 엘리먼트도 역시 다른 group의 대응되는 엘리먼트를 composition한 결과 엘리먼트와 일대일 대응되어야 한다(compatible with the laws of composition). 헉헉.

G ↔ G'

즉, G와 G'은 다음의 속성을 갖는다: a, b ∈ G 가 a', b' ∈ G' 에 대응(correspond)된다면, G에서 composition된 ab도 역시 G'에서 composition된 a'b'에 대응(correspond)된다. 이 내용을 만족할경우 한 group의 모든 속성은 (대응을 통해) 다른 group으로 이어질 수 있다.

예를 들어 G의 identity 엘리먼트도 G'으로 대응된다. group G identity 엘리먼트를 1이라고 하고 이게 group G'의 엘리먼트 ϵ' 에 대응된다고 하자. 그리고 G'의 임의의 엘리먼트 a'은 G의 엘리먼트 a에서 대응된다고 해 보자. 위에서 내린 가정에 의하면 composition한 결과도 똑같이 대응되어야 한다. group G에서 1a = a 이므로, group G'에서는 ϵ'a' = a' 이 되어야 한다. 따라서 ϵ' = 1' 이 되는 것이다.

다른 예를 들면, 서로 isomorphic한 group들 간에는 대응되는 엘리먼트의 order 또한 같다. group G에서 a가 group G'의 a'에 대응된다면, a^r = 1 이면 역시 a'^r = 1 이게 된다.

이렇게 서로 isomorphic한 group들이 같은 group 속성을 갖기 때문에 종종 이들을 같이 묶어서 구별하기도 한다. 예를 들어 한 symmetric group S_n이 어떤 permutation matrix group (GL_n(ℝ)의 subgroup)과 서로 isomorphic 하다면, 경우에 따라서 이 둘을 서로 구별 않고(blur the distinction) 사용할 수 있다.