Automorphism and conjugation

isomorphism 중에는 (헷갈리게도) group G에서 자기자신으로 대응되는 isomorphism도 있을 수 있다.

φ: G → G

이러한 isomorphism을 'automorphism of G' 라고 한다. 당연히 identity map은 automorphism이다. 다른 예를 들면, group G = {1, x, x²} 를 order 3짜리 cyclic group이라고 하자(x³ = 1). 그러면 x와 x²을 서로 교환하는(interchange) 치환(transposition)은 automorphism of G 이다(φ 를 해당 치환으로 두는 것이다).

1 ⇝ 1
x ⇝ x²
x² ⇝ x

여기서 x² 도 x와 마찬가지로 이 group의 order 3인 엘리먼트 중 하나이다. x²를 y라고 부른다면, y에 의해 생성(generate)된 cyclic subgroup {1, y, y²} 을 만들 수 있다(y² = x).

이번엔 conjugation을 살펴보자. b ∈ G 를 고정된 엘리먼트라고 하자. 여기서 conjugation by b 란 G 에서 자기 자신으로 대응되는 φ 매핑을 아래와 같이 정의한 것이다.

φ(x) = bxb^-1

위 매핑은 automorphism이다. 우선 아래와 같이 group들 간 law of composition이 compatible 하다.

φ(xy) = bxyb^-1 = bxb^-1byb^-1 = φ(x)φ(y)

그리고 이 매핑은 inverse function이 있기 때문에 일대일 대응 매핑이다. inverse function은 바로 conjugation by b^-1 이다.

만일 이 group이 abelian 이라면(commutative 한 것), conjugation은 identity map: bab^-1 = abb^-1 = a 이 된다. 다시 말해서 noncommutative group은 자명하지 않은(nontrivial) conjugation을 갖는다는 것이다(nontrivial automorphisim).

bab^-1 의 결과 엘리먼트를 conjugate of a by b 라고 부른다. 그리고 group G에서 두 엘리먼트 a, a'가 a' = bab^-1 라면, 이 둘을 conjugate 라고 부른다.

a의 conjugate는 a와 (order가 같은 등) 매우 비슷하게 동작한다. conjugate는 a를 automorphism에 의해 사상시킨(image)것이기 때문이다.

끝으로 conjugation을 이용하면 재미난 동작을 만들어 낼 수 있다. a'을 bab^-1 라고 하면 아래와 같이 된다.

ba = a'b

ba(b^-1b) 이기 때문이다. 위 식을 통해 conjugation by b가 b를 다른 편으로 옮길 때 a가 어떻게 변하느냐를 나타내는 것이라고 생각할 수도 있다(b의 위치가 바뀌고 a는 a'으로 변화함).