isomorphism 중에는 (헷갈리게도) group G에서 자기자신으로 대응되는 isomorphism도 있을 수 있다.

이러한 isomorphism을 'automorphism of G' 라고 한다. 당연히 identity map은 automorphism이다. 다른 예를 들면, group G = {1, x, x²} 를 order 3짜리 cyclic group이라고 하자(x³ = 1). 그러면 x와 x²을 서로 교환하는(interchange) 치환(transposition)은 automorphism of G 이다(φ 를 해당 치환으로 두는 것이다).

여기서 x² 도 x와 마찬가지로 이 group의 order 3인 엘리먼트 중 하나이다. x²를 y라고 부른다면, y에 의해 생성(generate)된 cyclic subgroup {1, y, y²} 을 만들 수 있다(y² = x).

이번엔 conjugation을 살펴보자. b ∈ G 를 고정된 엘리먼트라고 하자. 여기서 conjugation by b 란 G 에서 자기 자신으로 대응되는 φ 매핑을 아래와 같이 정의한 것이다.

위 매핑은 automorphism이다. 우선 아래와 같이 group들 간 law of composition이 compatible 하다.

그리고 이 매핑은 inverse function이 있기 때문에 일대일 대응 매핑이다. inverse function은 바로 conjugation by b^-1 이다.

만일 이 group이 abelian 이라면(commutative 한 것), conjugation은 identity map: bab^-1 = abb^-1 = a 이 된다. 다시 말해서 noncommutative group은 자명하지 않은(nontrivial) conjugation을 갖는다는 것이다(nontrivial automorphisim).

bab^-1 의 결과 엘리먼트를 conjugate of a by b 라고 부른다. 그리고 group G에서 두 엘리먼트 a, a'가 a' = bab^-1 라면, 이 둘을 conjugate 라고 부른다.

a의 conjugate는 a와 (order가 같은 등) 매우 비슷하게 동작한다. conjugate는 a를 automorphism에 의해 사상시킨(image)것이기 때문이다.

끝으로 conjugation을 이용하면 재미난 동작을 만들어 낼 수 있다. a'을 bab^-1 라고 하면 아래와 같이 된다.

ba(b^-1b) 이기 때문이다. 위 식을 통해 conjugation by b가 b를 다른 편으로 옮길 때 a가 어떻게 변하느냐를 나타내는 것이라고 생각할 수도 있다(b의 위치가 바뀌고 a는 a'으로 변화함).

앞서 group G와 G'간의 대응(correspondence)관계를 아래와 같이 표현했다.

이와 같은 양방향 대응관계를 단방향으로 표현하기 위해 함수 표현식을 사용하거나 맵(map) 표현식을 사용할 수 있다. 맵 표현식을 사용하면 map φ: G → G' 이렇게 된다. 즉, 'G 에서 G'으로 가는 isomorophism φ'는 law of composition을 호환하는 일대일대응 맵(bijective map) 이 되겠다. law of composition을 호환한다는 말의 의미를 수식으로 쓰기 위해 대응관계 표현을 φ 함수를 사용하여 아래와 같이 쓸 수 있다.

위 식에서 우변은 group G에서 a와 b를 곱하여 φ 함수를 적용한다는 의미이고, 좌변은 이전에 a', b'을 나타내던 φ(a)와 φ(b) 를 G'에서 곱한다는 의미이다. group에서 곱한다는 말은 해당 group의 law of composition을 써서 composition 한다고 생각하면 된다. 이걸 다시 아래와 같이 쓸 수도 있다.

물론 domain(정의역)과 range(치역)를 바꾸어도 된다. 즉, φ^-1: G' → G 이것도 성립한다.

다시 정리하면, 두 group G와 G'간에 φ G → G' 대응을 갖는 isomorphism이 존재한다면 이 둘을 isomorphic 하다고 한다. 두 group간 isomorphic을 나타내기 위해서 ≈ 기호를 사용할 것이다. 위키피디아 페이지 에서는 ≅ 기호를 사용하는데 책에서는 ≈ 기호를 쓴다.

서로 다른 law of composition을 갖는 group간의 isomorphism에 대한 예를 살펴보자. infinite cyclic group C = {..., a^-2, a^-1, 1, a, a², ...} 는 아래 매핑에 의하여 group ℤ⁺와 isomorphism 관계를 이루게 된다.

여기서 φ(n) = aⁿ 이다.

주목해야하는 점은 law of composition이 domain(정의역)에서는 덧셈이고 range(치역)에서는 곱셈이라는 것이다. 이런 경우 isomorphism group 들을 φ 함수의 관계식으로 나타내면 위에서 본 것과는 달리 φ(m + n) = φ(m)φ(m) 또는 a^m+n = a^maⁿ 이렇게 된다.

이번에는 cyclic group간의 예를 들어보자. 두 cyclic group이 각각 엘리먼트 x와 y로 생성(generate)되었고, 둘 다 같은 order를 갖는다고 해 보자. 그러면 xⁱ에서 yⁱ로 대응되는 매핑은 isomorphism 이다. 즉, 같은 order를 갖는 두 cyclic group은 서로 isomorphic 이다.

다시 또 정리하자면, 두 group G와 G'이 isomorphic 하다는 것은 φ: G → G' 의 대응 관계를 갖는 isomorphism, 즉 law of composition을 호환하는 일대일대응 매핑(bijective map)이 있을 경우이다.

그리고 어떤 group G에 isomorphic한 group들을 모아서 isomorphism class 라고 부른다. isomorphism class 안의 어떤 두 group은 서로 isomorphic 하다.

Isomorphism은 우리말로 하면 '동형사상'이다. 위키피디아 한국어 페이지에서는 '서로 구조가 같은 두 대상 사이에, 모든 구조를 보존하는 사상이다'라고 설명한다. 이게 무슨 말인가?

두 group G와 G'이 있을 때 G의 모든 group 속성을 G'이 따를 경우 이 둘을 isomorphic하다 라고 한다.

예를 들어 group G가 아래와 같은 형태의 실수 행렬일 경우,

위와 같은 형태의 행렬들은 GL₂(ℝ)의 subgroup 이며, 이러한 행렬 두 개를 곱하면 아래와 같이 우상단(1,2) 성분들이 더해지는 형태가 된다.

그래서 이런 형태의 행렬들을 서로 곱할 때에는 자연스럽게 우상단 entry만 보게 된다. 이 상황을 가리켜 group G가 실수 덧셈 group(additive group of real numbers)에 isomorphic 하다고 한다.

위의 예제를 보아도 isomorphism을 명확하게 하기가 어렵다. 다시 정리하면, 두 group의 모든 엘리먼트들을 일대일 대응(bijective correspondence)으로 연결시키는 것이다. 여기서 같은 group의 엘리먼트들을 composition하여 나온 결과 엘리먼트도 역시 다른 group의 대응되는 엘리먼트를 composition한 결과 엘리먼트와 일대일 대응되어야 한다(compatible with the laws of composition). 헉헉.

즉, G와 G'은 다음의 속성을 갖는다: a, b ∈ G 가 a', b' ∈ G' 에 대응(correspond)된다면, G에서 composition된 ab도 역시 G'에서 composition된 a'b'에 대응(correspond)된다. 이 내용을 만족할경우 한 group의 모든 속성은 (대응을 통해) 다른 group으로 이어질 수 있다.

예를 들어 G의 identity 엘리먼트도 G'으로 대응된다. group G identity 엘리먼트를 1이라고 하고 이게 group G'의 엘리먼트 ϵ' 에 대응된다고 하자. 그리고 G'의 임의의 엘리먼트 a'은 G의 엘리먼트 a에서 대응된다고 해 보자. 위에서 내린 가정에 의하면 composition한 결과도 똑같이 대응되어야 한다. group G에서 1a = a 이므로, group G'에서는 ϵ'a' = a' 이 되어야 한다. 따라서 ϵ' = 1' 이 되는 것이다.

다른 예를 들면, 서로 isomorphic한 group들 간에는 대응되는 엘리먼트의 order 또한 같다. group G에서 a가 group G'의 a'에 대응된다면, a^r = 1 이면 역시 a'^r = 1 이게 된다.

이렇게 서로 isomorphic한 group들이 같은 group 속성을 갖기 때문에 종종 이들을 같이 묶어서 구별하기도 한다. 예를 들어 한 symmetric group S_n이 어떤 permutation matrix group (GL_n(ℝ)의 subgroup)과 서로 isomorphic 하다면, 경우에 따라서 이 둘을 서로 구별 않고(blur the distinction) 사용할 수 있다.