Artin Algebra 에서 설명하는 Crammer's Rule 을 정리해 보았다. 중간에 나온 Theorem의 증명은 생략했다.

Crammer's Rule 은 연립일차방정식(systems of linear equations)의 해를 행렬식(determinant)으로 구하는 방법이다. 이를 유도하기 위해 우선 아래와 같이 행렬 A의 행렬식을 j번째 column에 대한 expansion by minors 로 정리해보자.

(식1)... det A = (-1)^j+1a_1jdet A_1j + (-1)^j+2a_2jdet A_2j + ... + (-1)^j+na_njdet A_nj.

여기서 A_ij는 행렬 A에서 i번째 row와 j번째 column을 제거한(crossing out) 행렬이다. 위 식에 α_ij = (-1)^i+j det A_ij 를 넣어서 단순화 시켜보자.

(식2)... det A = a_1j α_1j + a_2j α_2j + ... + a_nj α_nj.

(식2)를 잘 기억해 두고, 다음에는 adjoint 를 정의해 보자. 행렬 A의 adjoint 란 n × n 행렬로 (i,j)의 entry인 (adj)_ij 가 (-1)^i+j det A_ji 인 행렬이다. 즉, α_ji 이며, 아래와 같이 transpose의 형태로도 표현할 수 있다.

(adj A) = (α_ij)^t

adjoint 의 예를 몇개 더 들어보자. 아래는 2 × 2 행렬의 adjoint 이다.

그리고 아래의 3 × 3 행렬의 경우이다.

이번에는 아래 Theorem 과 Corollary 를 살펴보자.

Theorem. δ = det A 라고 하자. 그러면,

(adj A) ⋅ A = δ I, and A ⋅ (adj A) = δ I.

Corollary. 행렬A의 행렬식 δ 가 0이 아니라면,

위의 Corollary 를 사용하여 고등학교때 외웠던 2 × 2 행렬의 행렬식을 유도해낼 수 있다. 즉,

그리고 앞서 나왔던 3 × 3 행렬의 determinant는 1인데, 해당 행렬과 adjoint 행렬을 곱해보면 3 × 3 의 identity matrix가 나온다.

이어서 연립방정식의 해를 행렬로 구하는 경우를 생각해보자. AX = B 의 형태의 식을 떠올릴 수 있고 양변에 행렬 A의 역행렬을 곱해주고 위의 Corollary를 가져온다고 했을 때,

위와 같은 형태가 된다. 그리고 우변의 식은 B가 column vector 이기에 j번째 (row의) 변수 x_j를 아래와 같이 풀어쓸 수 있다.

(식3)의 괄호안 (b₁α_1j + ... + b_nα_nj) 을 살펴보면 (식2) 와 무척 닮았음을 알 수 있다. 즉, (식2) 에서 a_ij 을 b_i 로 바꾸면 똑같게 되는 것이다. 여기서 발견한 내용을 사용해보자.

행렬 A의 j번째 column을 column vector B로 치환한 행렬을 M_j 라고 하자. M_j 의 determinant를 expansion by minors 로 표현하면 아래와 같다.

(식4)... det M_j = (b₁α_1j + ... + b_nα_nj)

이 식이 왜 말이 되는지는 α 의 정의와 아래 그림이 참고가 되면 좋겠다.

(식3)과 (식4)를 조합하면, 아래와 같이 j번째 X를 구할 수 있고, 이게 Crammer's Rule 이 되겠다.

끝으로 이걸 구체적으로 어떻게 응용하는지는 아래 링크에서 참고하면 되겠다.

http://egloos.zum.com/eyestorys/v/3544617

아이폰과 아이튠즈 사진 동기화가 안되는 문제를 해결하여 그 내용을 기록해 둔다.

아이폰으로 찍은 사진을 macOS의 사진 프로그램(Photos)에 넣어놓고 아이폰의 사진(카메라롤)은 삭제한 다음에 동기화를 시키려 하면 언젠가부터 아래와 같은 대화상자가 나타나면서 진행이 되지 않고 있었다(한글로는 어떤 내용인지 기억이 나지 않는다).

원인은 사진 라이브러리 디렉토리(*.photoslibrary)에 대한 권한이 충분치 않아서인 것으로 보인다. 그래서 해당 디렉토리의 권한을 설정해주면 된다. 그런데 내 경우 이미 권한은 넣은 상태였는데 그냥 권한을 확인하는 것만으로도 해결되었다. 권한 확인을 하면 뭔가 설정을 다시 읽어오는듯 하다. 버그인듯.

권한을 확인하려면,

1. Finder에서 '그림'(Pictures) 디렉토리로 간다음에
2. '사진 라이브러리'에 우클릭하여 '정보 가져오기' 클릭
3. 그리고 나오는 창에서 우하단에 누런색 자물쇠 아이콘 클릭
4. 권한에 문제가 있으면 수정하면 된다. 본인 계정으로 읽기/쓰기 권한이 있어야 한다.
5. 혹시 몰라서 'iPhoto 라이브러리'에도 같은 작업을 해 주었다.

그리고 관련 프로그램들(사진, 아이튠즈)을 재시작해주고 아이폰을 다시 연결하여 동기화를 진행하면 된다.

참고: https://discussions.apple.com/thread/6831863?tstart=0

Abstract Algebra 책에 증명 관련 용어들을 정리해 놓은 챕터가 있어서 한글로 정리해 본다.

이론 수학에서는 axiomatic approach 라는 방식을 사용한다. 이는 어떤 오브젝트들을 모아 놓고 이것을 S라고 한다음 이들에 대한 룰(rule)을 가정하는 것이다. 여기서 말하는 룰들을 axioms(공리) 라고 한다. S에 대한 axiom 들과 논리적인 방식들을 가지고 S에서 또다른 정보들을 추출해낼 수 있다. axiom 들은 또한 일관성이 있어야 한다. 즉, axiom 들은 서로를 부정해서는 안된다. 어떤 시스템에서 axiom 들이 지나치게 제한적이라면 이 시스템으로부터 나올 수 있는 수학적인 예문(examples of the methematical structure)이 별로 없을 것이다.

논리학이나 수학에서 statement(명제) 란 참이나 거짓을 판별할 수 있는 문장을 말한다. 아래 예제를 살펴보자.

• 3 + 56 - 13 + 8/2.
• All cats are black.
• 2 + 3 = 5.
• 2x = 6 exactly when x = 4.
• If ax² + bx + c = 0 and a ≠ 0, then
  x =
  -b ± √b² - 4ac / 2a
• x³ - 4x² + 5x - 6.

위에서 첫번째와 마지막을 빼놓고는 모두 참이나 거짓이 되는 statement이다.

수학적인 증명이란 어떤 statement의 참/거짓에 대하여 확인하는 작업(argument)일 뿐이다. 이러한 작업은 독자(audience)가 이해할 수 있도록 부연설명이 충분해야 한다.

"10/5 = 2" 라는 간단한 statement가 있다. 그런데 수학자들은 보다 복잡한 statement에 관심을 갖는다. 예를 들어 "p이면 q이다" 이런 것들이다(p와 q는 statement). 만일 어떤 statement가 참인 것으로 알려졌거나 그렇게 가정할 수 있을 경우, 이와 관련된 다른 statement들은 참인지 거짓인지에 대해서도 알고 싶을 것이다. 여기서 p를 hypothesis(가설) 라고 부르고 q를 conclusion(결론) 이라고 부른다. 다음 statement를 살펴보자: If ax² + bx + c = 0 and a ≠ 0, then

여기서 hypothesis는 ax² + bx + c = 0 and a ≠ 0 이고, conclusion은 아래와 같다.

위의 전체 statement(즉, "p이면 q이다"의 형태의 큰 statement)를 가지고는 hypothesis가 참인지 거짓인지에 대해서 알 수 없다. 하지만 전체 statement가 참이고 hypothesis인 ax² + bx + c = 0 and a ≠ 0 가 참임을 보여줄 수 있다면 conclusion은 무조건 참이다. 이 statement는 아래와 같이 몇 개의 방정식으로 증명할 수 있다:

어떤 statement가 참인것을 증명하면, 그 statement를 proposition(참인 명제) 라고 부른다. proposition 중에서도 아주 중요한 것을 theorem(정리) 라고 한다. 때로는 theorem이나 proposition을 한번에 증명하기보다는 여러 모듈로 나누어서 진행한다. 즉, 여러개의 작은 proposition들을 증명하는 것인데, 이것들을 lemma(보조정리) 라고 한다. lemma들을 이용해서 전체 증명을 하는 것이다. 그리고 또 가끔씩 proposition이나 theorem을 증명하다가 연관된 다른 proposition들을 내놓기도 하는데 이들을 corollary(따름정리) 라고 한다.

용어 한글 번역

• axiom: 공리
• statement: 명제
• hypothesis: 가정
• conclusion: 결론
• proposition: 참인 명제(한글책에서는 그냥 명제라고함)
• theorem: 정리
• lemma: 보조정리
• corollary: 따름정리, 추론

참고

• Abstract Algebra: Theory and Applications(Thomas W. Judson, 2016)
• 수학적 정리를 의미하는 용어: proposition, axiom, theorem, lemma, corollary
• 명제