집합과 부분집합의 관계가 있듯이 group이 있으면 subgroup이 있을 수 있다. 어떤 group G의 subgroup H는 아래와 같은 성질을 갖는다.

1. Closure: If a ∈ H and b ∈ H, then ab ∈ H
2. Identity: 1 ∈ H
3. Inverses: If a ∈ H, then a^-1 ∈ H

위에서 첫 번째 Clusure는 group G의 law of composition이 subgroup H에도 사용될 수 있다는 것을 시사한다. 이렇게 부모 group의 law of composition과 subgroup의 그것이 같을 경우 induced law of composition 이라고 부른다.

두 번째(Identity)와 세 번째(Inverse)에서는 H가 induced law of composition에 의해 group으로 구성됨을 나타낸다. Associative에 대해서 이야기하지 않는 이유는 group G에서 정의한 law of composition이 이미 Associative하기 때문이다.

모든 group은 두 개의 자명한(obvious) subgroup을 가진다. (말장난같아 보이지만) 자기 자신과 {1} 이다. {1} 은 identity 엘리먼트만으로 이루어진 group이다. 이 두 가지에 해당되지 않는 subgroup을 다시 proper subgroup 이라고 한다.

subgroup의 예를 들어보면 아래와 같은 것들이 있다.

1. The set T of invertible upper triangular 2 × 2 matrices
   

   a	b
   	d

     (a, d ≠ 0)
   is a subgroup of the general linear group GL₂(ℝ).
2. The set of complex numbers of absolute value 1 ‐ the set of points on the unit circle in the complex plane ‐ is a subgroup of ℂ^×.

Symmetric Group의 개념은 Group 챕터에서 자주 등장한다. 볼때마다 계속 잊어먹고 있는데 잘 숙지해 둬야겠다.

Permutations

permutation of T란 어떤 집합 S = Maps(T,T) - 집합 T를 입력으로 받고 T를 출력으로 내놓는 매핑 함수들의 집합 - 안의 어떤 함수 map f: T ↝ T 가 inverse를 갖고 이것이 일대일 매핑(bijective)할 경우 이 map 함수를 permutation of T 라고 부른다. 이런 permutation들을 집합으로 모아 놓으면 (신기하게도!) group을 형성한다. 예를 들어 identity와 transposition을 나타내는 매핑 i와 𝜏 역시 group을 형성한다. 두 개의 엘리먼트들이 집합 {a,b} 의 permutation인 것이다.

Symmertric Group

정수 1부터 n까지의 집합 {1,2,...,n} 의 permutation 들로 형성된 group을 symmertric group 이라고 부르고 S_n으로 표기한다.

n개의 엘리먼트들의 집합에서 permutation의 갯수는 n!이 된다. 순서가 있는 순열을 생각하면 처음에는 n개의 선택권이, 그 다음에는 (n-1)개, ... 이렇게 해서 총 n!개의 경우의 수가 생긴다. 따라서 symmetric group의 엘리먼트의 개수는 n! 개가 된다. 여기서 이걸 order라고 부른다. 즉, symmetric group의 엘리먼트의 개수는 order 인 것이다.

엘리먼트가 2개로 이루어진 symmetric group S₂는 { i, 𝜏 } 이다. 여기서 𝜏𝜏  = 𝜏² = i 인것을 생각하면, 각 엘리먼트들은 자기자신을 inverse로 갖게 되며, commutative한 abelian group이다.

S₃

엘리먼트가 3개로 이루어진 symmetric group S₃는 order가 6, 즉 엘리먼트를 6개 가지고 있다. symmetric group에서 n이 커지면 커질수록 order는 지수승으로 늘어나기 때문에 매우 복잡해지는데, S₃은 commutative 하지 않은 symmetric group들 가운데 order가 가장 작은 group 이기 때문에 주목할 필요가 있다.

S₃의 모든 엘리먼트들은 (놀랍게도!) 2개의 permutation으로 표현할 수 있다. 이들을 x,y라고 이름짓고, x를 cyclic permutation으로, y를 1,2를 서로 바꾸면서 3을 고정하는 permutation으로 정의해보자.

그러면 집합 {1, 2, 3} 의 permutation 6개는 아래와 같이 x,y 만으로 표현할 수 있다.

1은 identity permutation을 의미한다.

여기서 x³ = 1, y², yx = x²y 이기 때문에 각종 composition들이 group에 닫혀있는지에 대해서나 inverse를 만들어 낼 수 있는지에 대해서도 확인할 수 있다.

Abelian group은 law of composition이 commutative한 group 들을 일컫는다. 아래 예시들은 모두 abelian group이다.

• ℤ⁺: the integers, with addition
• ℝ⁺: the real numbers, with addtion
• ℝ^×: the nonzero real numbers, with multiplication
• ℂ⁺, ℂ^×: the analoguous groups, where the set ℂ of complex numbers replaces the real numbers ℝ