증명(proof) 관련 용어 정리

Abstract Algebra 책에 증명 관련 용어들을 정리해 놓은 챕터가 있어서 한글로 정리해 본다.

이론 수학에서는 axiomatic approach 라는 방식을 사용한다. 이는 어떤 오브젝트들을 모아 놓고 이것을 S라고 한다음 이들에 대한 룰(rule)을 가정하는 것이다. 여기서 말하는 룰들을 axioms(공리) 라고 한다. S에 대한 axiom 들과 논리적인 방식들을 가지고 S에서 또다른 정보들을 추출해낼 수 있다. axiom 들은 또한 일관성이 있어야 한다. 즉, axiom 들은 서로를 부정해서는 안된다. 어떤 시스템에서 axiom 들이 지나치게 제한적이라면 이 시스템으로부터 나올 수 있는 수학적인 예문(examples of the methematical structure)이 별로 없을 것이다.

논리학이나 수학에서 statement(명제) 란 참이나 거짓을 판별할 수 있는 문장을 말한다. 아래 예제를 살펴보자.

• 3 + 56 - 13 + 8/2.
• All cats are black.
• 2 + 3 = 5.
• 2x = 6 exactly when x = 4.
• If ax² + bx + c = 0 and a ≠ 0, then
  x =
  -b ± √b² - 4ac / 2a
• x³ - 4x² + 5x - 6.

위에서 첫번째와 마지막을 빼놓고는 모두 참이나 거짓이 되는 statement이다.

수학적인 증명이란 어떤 statement의 참/거짓에 대하여 확인하는 작업(argument)일 뿐이다. 이러한 작업은 독자(audience)가 이해할 수 있도록 부연설명이 충분해야 한다.

"10/5 = 2" 라는 간단한 statement가 있다. 그런데 수학자들은 보다 복잡한 statement에 관심을 갖는다. 예를 들어 "p이면 q이다" 이런 것들이다(p와 q는 statement). 만일 어떤 statement가 참인 것으로 알려졌거나 그렇게 가정할 수 있을 경우, 이와 관련된 다른 statement들은 참인지 거짓인지에 대해서도 알고 싶을 것이다. 여기서 p를 hypothesis(가설) 라고 부르고 q를 conclusion(결론) 이라고 부른다. 다음 statement를 살펴보자: If ax² + bx + c = 0 and a ≠ 0, then

x =

-b ± √b² - 4ac / 2a

여기서 hypothesis는 ax² + bx + c = 0 and a ≠ 0 이고, conclusion은 아래와 같다.

x =

-b ± √b² - 4ac / 2a

위의 전체 statement(즉, "p이면 q이다"의 형태의 큰 statement)를 가지고는 hypothesis가 참인지 거짓인지에 대해서 알 수 없다. 하지만 전체 statement가 참이고 hypothesis인 ax² + bx + c = 0 and a ≠ 0 가 참임을 보여줄 수 있다면 conclusion은 무조건 참이다. 이 statement는 아래와 같이 몇 개의 방정식으로 증명할 수 있다:

ax2 + bx + c = 0
x2 +

b/a

x + c = -

c/a

x2 +

b / a

x + (

b / 2a

)2 = (

b / 2a

)2 -

c / a

( x +

b / 2a

)2 =

b2 - 4ac / 4a2

x +

b / 2a

=

± √b2 - 4ac / 2a

x =

-b ± √b2 - 4ac / 2a

어떤 statement가 참인것을 증명하면, 그 statement를 proposition(참인 명제) 라고 부른다. proposition 중에서도 아주 중요한 것을 theorem(정리) 라고 한다. 때로는 theorem이나 proposition을 한번에 증명하기보다는 여러 모듈로 나누어서 진행한다. 즉, 여러개의 작은 proposition들을 증명하는 것인데, 이것들을 lemma(보조정리) 라고 한다. lemma들을 이용해서 전체 증명을 하는 것이다. 그리고 또 가끔씩 proposition이나 theorem을 증명하다가 연관된 다른 proposition들을 내놓기도 하는데 이들을 corollary(따름정리) 라고 한다.

용어 한글 번역

• axiom: 공리
• statement: 명제
• hypothesis: 가정
• conclusion: 결론
• proposition: 참인 명제(한글책에서는 그냥 명제라고함)
• theorem: 정리
• lemma: 보조정리
• corollary: 따름정리, 추론

참고

• Abstract Algebra: Theory and Applications(Thomas W. Judson, 2016)
• 수학적 정리를 의미하는 용어: proposition, axiom, theorem, lemma, corollary
• 명제