앞서 Coset을 다음과 같이 정의했다.

aN = { g ∈ G | g = an for some n ∈ N}

즉, Group G에서 Homomorphism φ 와 Kernel N을 가질 때, 엘리먼트 a의 Coset은 aN들이다.

그런데 궂이 Homomorphism의 Kernel을 안쓰고도 Coset을 정의할 수도 있다. Group G의 Subgroup H의 Left Coset은 아래와 같다.

Left에 a가 위치함을 기억해두자. 즉, Kernel 집합 대신에 원래 Group의 Subgroup을 쓴 것이다. Kernel도 Group G의 Subgroup이라는 것을 떠올려보자.

그리고 위의 정의에 따르면 Subgroup H도 coset이다. 왜냐하면 H = 1H 이기 때문이다.

이렇게 만들어진 Coset들은 Congruence Relation을 이루는 Equivalence Class이다.

위와같이 Coset이 Subgroup H로 정의되었을 때, 왜 Congruence한 것들끼리 Equivalence Relation을 갖게 되는지 살펴보자.

우선 Equivalence Relation이 되는 조건에는 어떤 것들이 있었는지 기억을 더듬어보자.

1. Transitive: If a ~ b and b ~ c, then a ~ c
2. Symmetric: If a ~ b, then b ~ a
3. Reflexive: a ~ a for all a ∈ S

Subgroup의 특성을 떠올리면서 하나씩 살펴보자.

Transitivity: a ≡ b 이고, b ≡ c 라고 해보자. 이는 곧 b = ah, c = bh' for some h, h' ∈ H 이다. 두 식을 합치면, c = ahh' 가 된다. 근데 H는 Subgroup이기 때문에 두 h, h'를 Composition하면 hh' ∈ H 역시 H 이다. 따라서 a ≡ c 가 된다.

Symmetry: a ≡ b 라면 b = ah 가 된다. 양 변에 h^-1 씩 Composition 해 주면, a = bh^-1 이 된다. h^-1 ∈ H 이므로 b ≡ a 가 된다.

Reflexivity: a = a1 이고 1 ∈ H 이므로 a ≡ a 이다.

Equivalence Class들을 통해 Partition을 형성할 수 있다는 사실을 생각하면 아래 내용을 이끌어낼 수 있다.

Left Coset aH는 Group G의 특정 부분집합을 나타낸다. Equivalence Relation에서 서로 다른 표현(예를 들면, a ~ b에서 aN과 bN은 같은 Coset을 나타냄)이 결국은 같은 부분집합을 나타낼 수도 있다는 것을 생각해보면, aH는 a를 포함하는 유니크한 Coset이지만 역시 다른 표기법으로 나타낼 수 있다는 사실을 유추해낼 수 있다.

예를 들어 Group G를 Symmetric Subgroup S₃이며 G = {1, x, x², y, xy, x²y} 라고 해보자. x와 y는 아래와 같은 Permutation Matrix이다.

x는 한 칸씩 시프트(123이 231로)하는 Permutation이고, y는 3을 고정시키고 1과2를 바꾸는 Permutation이다. 여기서 엘리먼트 xy를 가지고 Cyclic Subgroup을 만들 수 있는데, (xy)(xy) = 1 이므로 H = {1, xy} 가 되어 Order 2를 갖는다. 그러면 Group G에서 Subgroup H의 Left Coset들은 아래와 같이 세 개가 나올 수 있다.

세 번째 식이 좀 헷갈리는데 계산해보면 yxy = x² 이 된다. 이 예에서도 보면 Left Coset들로 전체 Group이 Partition됨을 확인할 수 있다.