Lagrange's Theorem과 Counting Formular

지난 내용에서 Group G의 Subgroup H의 Left Coset을 아래와 같이 정의했다.

aH = {ah | h ∈ H}

여기서 어떤 Subgroup의 Left Coset의 개수를 Index of H in G라고 부르고 아래와 같이 표기한다.

[G : H]

예를 들어 Group G를 Symmetric Subgroup S₃이며 G = {1, x, x², y, xy, x²y} 라고 하고, x와 y가 아래와 같고,

x =

0	1	0
0	0	1
1	0	0

 ,  y =

0	1	0
1	0	0
0	0	1

Subgroup H = {1, xy} 일 때, [G : H] = 3 이다. 물론 G가 무한개의 엘리먼트를 가진다면 Index도 무한대가 된다.

Subgroup H에서 Coset aH으로의 관계는 Bijective 매핑: h ⇝ ah 이다. 따라서 아래 내용이 성립한다.

Coset aH의 엘리먼트 개수는 H의 엘리먼트 개수와 같다.

H의 Coset들의 합집합(Union)은 G가 되며, 각각의 Coset들은 서로 겹치지 않기 때문에 Counting Formula라고 불리는 아래와 같은 공식을 이끌어낼 수 있다.

|G| = |H| [G : H]
(G의 Order) = (H의 Order) × [G : H]

즉, 위의 예에서 G의 Order는 H의 Order가 2이고, H의 Left Coset은 총 3개가 나오므로, 2 × 3 = 6 이 된다.

그리고 위의 공식에서 우변의 두 항 모두가 좌변을 나눌 수 있다는 사실은 굉장히 중요하다. 이 사실을 정리하면 아래와 같은 Lagrange's Theorem이 된다.

Corollary. Lagrange's Theorem:
G를 유한한 Group이라고 하고, H를 G의 Subgroup이라 하면, H의 Order가 G의 Order를 나눌수 있다.

나눈 값은 [G : H]이다. 앞서 Cyclic Subgruop에서 어떤 엘리먼트 a ∈ G의 Order는 a에 의해 생성되는 Cyclic Subgroup의 Order라고 했다. 따라서 Lagrange's Theorem은 아래 내용을 내포한다.

Group에서 어떤 엘리먼트의 Order는 그 Group의 Order를 나눌 수 있다.

그리고 이 사실을 바탕으로 아래의 내용을 도출한다.

Corollary. G가 p개의 엘리먼트를 갖고 있다고 하고 p는 소수(1과 자기 자신으로 나눌 수 있음)라고 하자. 그리고 Identity가 아닌 엘리먼트 a ∈ G가 있다고 하자. 그러면 G는 a로 생성되는 Cyclic Group: {1, a, ... , a^p-1} 이 된다.

a ≠ 1 이기 때문에 a의 Order는 1 보다 크다. 그리고 위의 정리에 의하여 a의 Order가 |G| = p 를 나눈다. p가 1 또는 자기 자신으로밖에 못 나누기 때문에 a의 Order는 p가 되고, a로 인해 생성되는 Cyclic Subgroup은 Order가 p이므로 이는 G와 같게 되는 것이다.

또한 Order가 소수 p인 Group G와 그 엘리먼트 a로 생성되는 Order가 역시 p인 Cyclic Subgroup은 서로 Isomorphic 한 관계가 된다.

Counting Formula는 Homomorphism 에서도 적용될 수 있다. φ:G ⟶ G' 을 Homomorphism 매핑이라고 하자. ker φ의 Left Coset은 φ의 Fibres 라고 했다(Congruence Relation & Coset). 이들 Fibres는 매핑된 Image와 Bijective한 관계를 갖는다. 따라서 아래 공식도 성립한다.

[G : ker φ] = | im φ |

Group G의 Subgroup인 ker φ 의 Left Coset 개수는 φ 를 통해 사상된 Image의 엘리먼트 개수와 같다. 이를 Counting Formula에 대입하면 아래 내용을 얻을 수 있다.

| G | = | ker φ | · | im φ |

위의 식은 아래와 같은 방식으로 유도된다.

| G | = | H | · [G : H] ... (1)
| G | = | ker φ | · [G : ker φ] ... (2)
| G | = | ker φ | · | im φ | ... (3)
그리고 두 식 (2)와 (3)을 합치면,
| G | = | ker φ | · | im φ |

즉, | ker φ |나 | im φ |나 모두 | G |를 나눈다. 그리고 im φ는 G'의 Subgroup이기 때문에 | im φ |는 G'도 나눌 수 있다.