Subgroup으로 생성되는 Left Coset

앞서 Coset을 다음과 같이 정의했다.

aN = { g ∈ G | g = an for some n ∈ N}

즉, Group G에서 Homomorphism φ 와 Kernel N을 가질 때, 엘리먼트 a의 Coset은 aN들이다.

그런데 궂이 Homomorphism의 Kernel을 안쓰고도 Coset을 정의할 수도 있다. Group G의 Subgroup H의 Left Coset은 아래와 같다.

aH = {ah | h ∈ H}

Left에 a가 위치함을 기억해두자. 즉, Kernel 집합 대신에 원래 Group의 Subgroup을 쓴 것이다. Kernel도 Group G의 Subgroup이라는 것을 떠올려보자.

그리고 위의 정의에 따르면 Subgroup H도 coset이다. 왜냐하면 H = 1H 이기 때문이다.

이렇게 만들어진 Coset들은 Congruence Relation을 이루는 Equivalence Class이다.

a ≡ b if b = ah, for some h ∈ H

위와같이 Coset이 Subgroup H로 정의되었을 때, 왜 Congruence한 것들끼리 Equivalence Relation을 갖게 되는지 살펴보자.

우선 Equivalence Relation이 되는 조건에는 어떤 것들이 있었는지 기억을 더듬어보자.

1. Transitive: If a ~ b and b ~ c, then a ~ c
2. Symmetric: If a ~ b, then b ~ a
3. Reflexive: a ~ a for all a ∈ S

Subgroup의 특성을 떠올리면서 하나씩 살펴보자.

Transitivity: a ≡ b 이고, b ≡ c 라고 해보자. 이는 곧 b = ah, c = bh' for some h, h' ∈ H 이다. 두 식을 합치면, c = ahh' 가 된다. 근데 H는 Subgroup이기 때문에 두 h, h'를 Composition하면 hh' ∈ H 역시 H 이다. 따라서 a ≡ c 가 된다.

Symmetry: a ≡ b 라면 b = ah 가 된다. 양 변에 h^-1 씩 Composition 해 주면, a = bh^-1 이 된다. h^-1 ∈ H 이므로 b ≡ a 가 된다.

Reflexivity: a = a1 이고 1 ∈ H 이므로 a ≡ a 이다.

Equivalence Class들을 통해 Partition을 형성할 수 있다는 사실을 생각하면 아래 내용을 이끌어낼 수 있다.

Corollary. 어떤 Group에서 어떤 Subgroup에 대한 Left Coset 들은 해당 Group의 Partition을 형성한다.

Left Coset aH는 Group G의 특정 부분집합을 나타낸다. Equivalence Relation에서 서로 다른 표현(예를 들면, a ~ b에서 aN과 bN은 같은 Coset을 나타냄)이 결국은 같은 부분집합을 나타낼 수도 있다는 것을 생각해보면, aH는 a를 포함하는 유니크한 Coset이지만 역시 다른 표기법으로 나타낼 수 있다는 사실을 유추해낼 수 있다.

aH = bH if and only if a ≡ b

만일 aH와 bH가 공통의 엘리먼트를 갖고 있다면 이 둘은 서로 같다.

예를 들어 Group G를 Symmetric Subgroup S₃이며 G = {1, x, x², y, xy, x²y} 라고 해보자. x와 y는 아래와 같은 Permutation Matrix이다.

x =

0	1	0
0	0	1
1	0	0

 ,  y =

0	1	0
1	0	0
0	0	1

x는 한 칸씩 시프트(123이 231로)하는 Permutation이고, y는 3을 고정시키고 1과2를 바꾸는 Permutation이다. 여기서 엘리먼트 xy를 가지고 Cyclic Subgroup을 만들 수 있는데, (xy)(xy) = 1 이므로 H = {1, xy} 가 되어 Order 2를 갖는다. 그러면 Group G에서 Subgroup H의 Left Coset들은 아래와 같이 세 개가 나올 수 있다.

{1, xy} = H = xyH
{x, x²y} = xH = x²yH
{x², y} = x²H = yH

세 번째 식이 좀 헷갈리는데 계산해보면 yxy = x² 이 된다. 이 예에서도 보면 Left Coset들로 전체 Group이 Partition됨을 확인할 수 있다.