이전 포스팅의 내용을 다시 생각해보면, 어떤 매핑함수 φ:S ⟶ T 가 정의역(domain) S에서 Equivalence Relation을 형성한다고 했을 때, φ(a) = φ(b) 이라는 것은 a ~ b 임을 의미한다. 매핑함수가 서로 Equivalence Class 임을 판별하는데 쓰이는 것이다. 이렇게 φ 매핑에 의해서 Equivalence Relation이 형성되었을 때 이것을 the Equivalence Relation determined by the map 이라고 한다.

매핑에는 Inverse(역사상)도 있을 수가 있다. 위의 경우에는 T의 엘리먼트에 대응되는 S쪽 Partition이 Inverse 이미지가 된다. 즉, 엘리먼트 t ∈ T의 Interse Image는 모든 엘리먼트 s가 아래와 같은 S의 부분집합이 되게 된다.

즉, φ^-1(t)은 정의역(domain)이었던 S의 부분집합이 된다. 이러한 표현은 단지 표현방식일 뿐이고 여기서 φ^-1은 함수가 아니다. 출력이 여러 엘리먼트가 될 수도 있기 때문이다. 이렇게 나오는 Inverse Image들을 fibres of the map φ 라고 부른다. Nonempty인 fibres φ^-1(t) 라는 것은 t가 φ의 Image이며, S의 Partition을 형성한다는 것을 의미한다. 여기서 Nonempty fibres 들의 집합인 Equivalence Class S 는 φ 매핑의 이미지 im φ 를 만들어 낼 수도 있다.

위의 매핑은 일대일매핑(bijective)으로 S의 엘리먼트 s를 φ(s)로 보내는 매핑이다. 이건 φ:S ⟶ T 와 같아보일수도 있지만 입력이 개별 엘리먼트인 s단위가 아니라 fibres인 s단위이다.

한편, fibres는 영국식 표현이라고 한다. 미국식으로는 fiber 라고하며, 우리말로는 올다발이다.