미분에서 곱의 법칙(Product rule)에 대해 정리해 본다. 곱의 법칙은 두 개 이상의 함수가 곱으로 연결되어 있을 경우에 사용하는 공식으로 아래와 같이 정의된다.

(f ⋅ g)' = f' ⋅ g + f ⋅ g'

그럼 지금부터 이 공식 증명을 해 본다. 증명방법은 위키피디아에 있는 방식을 가져와서 내가 이해할 수 있는 수준으로 풀어서 정리한다. 증명에서 핵심은 중간에 f(x)g(x+Δx)를 빼 주고 더해 주는 트릭이다.

h(x) = f(x)g(x) 라고 하고, h'(x)를 구한다고 해 보자(h(x)는 x의 위치에서 미분 가능하다는 가정). 그리고 미분의 정의는 아래와 같다는 사실을 염두해두자.

여기서 h(x)를 f(x)g(x) 로 치환해서 위의 식에 대입해보자.

여기서 트릭을 하나 써본다. 아래와 같이 분자의 두 항에 대해서 각각 f(x)g(x+Δx)를 빼 주고 더해 준다.

위 식을 분배법칙에 의해서 정리해 본다.

이어서 극한기호(lim)까지 전개하여 아래와 같이 정리할 수 있다.

이 상태에서 각 항들을 자세히 살펴보면 아래와 같이 첫 번째와 세 번째 극한(lim) 항은 각각 g(x)와 f(x)로, 두 번째와 네 번째는 각각 f와 g의 미분 도함수로 정리된다는 사실을 확인할 수 있다.