최근에 'Manifold' 라는 단어와 마주치게 되었다. 처음에는 도대체 무얼 말하는지 이해가 되질 않다가 최근에 조금씩 이해되기 시작하여 정리해 두기로 했다. 가장 결정적인 도움이 된 아티클은 http://bjlkeng.github.io/posts/manifolds/ 인데, 이 글에서 Tangent Space의 기저 변환을 다루고 있는 후반부(정확히는 Jacobian 행렬부터)는 이해하지 못했다. 여기에서는 기본 개념만 정리한다. Manifold는 한글로 '다양체'라고 불리는데, 별로 와닿지가 않아 그냥 Manifold라고 썼다.

Manifold는 정의부터 들어가면 이해하기 어려울 것 같고, 예제를 먼저 나열해 보자. 여러 아티클 및 서적에서 1D Manifold의 예로 원(Circle)을, 2D Manifold의 예로 구체(Sphere)를 예로 들고 있다. 그 밖에 도넛(torus)이나 Klein Bottle 같은 이상한 도형들도 있는데, 이런 예들 중에 가장 최고는 '지도책(atlas)' 이라고 생각한다. 나는 지도책을 떠올리면서 Manifold의 개념을 직관적으로 이해할 수 있었다.

'지도책(atlas)'은 우선 '지도(map)'와는 조금 다른 개념이다. 지도책은 여러 장의 지도를 모아 놓은 것이다. Manifold를 쉽게 이해하기 위해 지도책을 "여러 장의 '연관된' 지도를 모아 놓은 것"이라고 해 두자. 좀 더 구체적인 예를 들어서 우리나라(대한민국)와 우리나라 전국 도로 교통 지도책을 떠올려보자. 여기서 A를 대한민국의 지형, B를 지도책이라고 하자.

첫 번째로 생각해야 하는 Manifold의 개념은 차원 이동이다. 대한민국의 지형은 3D이다. 3D 지형을 쉽게 풀어서 교통 및 지역정보를 제공하기 위해서 3D개념을 2D로 옮기고 복잡하고 구체적인 이미지를 단순하고 직관적인 이미지로 추상화시켜서 만든게 지도이다. 즉, A에서 B로 가면서(매핑되면서) 3D공간이 2D공간으로 바뀌는 것이다.

두 번째로 생각해야 하는 것은 A가 B로 가면서 한 번에 표현되는 것이 아니라 여러 개의 subset 들이 모여서 B를 이룬다는 것이다. 대한민국을 한 장의 지도로 표현하기에는 종이도 커야 하고, 만들기도 힘들기 때문에 여러 장으로 나누어서 지도'책'을 만드는 것이다. Manifold의 제약사항에 의해서 B는 반드시 두 개 이상의 부분집합으로 표현되어야 한다. 관련된 제약사항 하나가 더 있는데, 반드시 낙장이 없어야 한다. 대한민국 지도책이라면 빠진 곳 하나 없이 대한민국의 모든 지역이 지도책에 의해 다 커버되어야 한다. 예를 들어 작은 지역이라고 독도나 작은 섬 등이 빠져서는 Manifold라고 할 수 없다!

지금까지 대한민국(A)과 지도책(B)에 대해서 이야기를 했는데, 그럼 Manifold는 무엇인가? 여기서는 대한민국이 Manifold이고 지도책은 Atlas라고 부르고(그게 그거 아닌가..), 지도책을 이루는 각 지역의 지도를 Coordinates 또는 Local Coordinates 라고 하며, 대한민국의 한 지역에서 지도 한 장으로 가는 각각의 매핑을 Chart 라고 한다. 위에서 예를 든 사항을 만족하는 A를 Manifold 라고 부르는 것이다.

그러면 이제 Manifold의 진짜 정의에 대해서 알아보자.

N차원의 Topological Manifold M은 N차원의 Topological Hausdorff 공간으로서 유한 갯수의 기저를 가지며 "지역적으로" ℝⁿ(N차원 실수공간)에 준동형사상(Homeomorphic) 된다. 이는 M에 속하는 모든 점 p는 열린 집합 형태를 갖는 이웃점들의 집합인 U를 가지며, 각각의 U는 준동형사상(Hoemomorphic)인 φ:U → V 을 가진다. 여기서 V ⊂ ℝⁿ 이다. 추가적으로 아래 내용도 알아두자.

• U에서 V로 가는 φ:U → V 이 매핑을 'Chart' 혹은 'Coordinate System'이라고 부른다.
• U집합을 해당하는 Chart에 대한 '도메인(Domain)' 혹은 'Local Coordinates Neighborhood'라고 부른다.
• U에 속하는 점 p(p ∈ U)의 매핑된 이미지를 φ(p) ∈ ℝⁿ 으로 표기하고, 해당하는 Chart에 대한 p의 'Coordinates' 혹은 'Local Coordinates' 라고 부른다.
• 이런 Chart 들의 모음을 { φα | α ∈ ℕ } 라고 하자. Uα 가 도메인이라고 하고, 모든 도메인의 합집합이 M이 될 경우 Chart의 모음인 { φα | α ∈ ℕ } 를 'Atlas' 라고 한다.
  

위에서 'Hausdorff 공간'이라는 개념이 나오는데 크게 중요하지 않다고 한다. 그럼 좀 더 이해를 돕기 위해 아래 다이어그램을 살펴보자.

위 다이어그램에서 Manifold는 X이다. 이 X는 n+k 차원의 개체이다. 그리고 X에서 서로 다른 두 개의 조각(또는 도메인 혹은 Local Coordinate Neighborhoods) U_α(초록)와 U_β(보라)를 정의했다. X는 Manifold이기 때문에 X안의 모든 점은 각자가 지역적으로(Locally) 낮은 차원의 유클리드 공간(ℝⁿ)으로의 매핑 φ(Chart 혹은 Coordinate System)을 각각 갖는다. 만일 우리가 Manifold X의 도메인 중 하나에서 점 p를 하나 고른다음 낮은 차원의 유클리드 공간으로 매핑을 한다면(φ를 통해서), 이렇게 매핑된 점을 해당 Chart(φ)에서 점 p에 대한 Coordinate 혹은 Local Coordinate 라고 부른다. 그리고 이러한 Chart가 여럿 있고 이들의 도메인이 전체 Manifold X를 커버한다면, 이들 Chart들을 Atlas라고 부르는 것이다.

Figure 4 다이어그램을 조금 더 살펴보면 U_α(초록)와 U_β(보라)에서 교집합 부분(하늘색)에서 각각의 Chart에 의해 매핑된 저차원의 공간에서 또 다른 매핑이 존재한다. 즉, 두 매핑 φ_αβ = φ_β ∘ φ_α^-1 과 φ_βα = φ_α ∘ φ_β^-1 이고, 이들의 도메인은 각각 φ_α(U_α ∩ U_β)와 φ_β(U_α ∩ U_β) 로 제한되며, 이들 매핑을 'Transition Map'이라고 부른다. 이 Transition 매핑을 궂이 언급한 이유가 있다. 이들 Transition 매핑이 미분가능(differentialble)하면 Differentiable Manifold라는 클래스로 정의된다. Differentiable Manifold는 C^k로 표기하고 k는 k번 미분 가능하다는 뜻이다. 특히 이들 Transition 매핑이 무한 번 미분 가능하다면(Infinitely Differentiable, C^∞) 이것을 'Smooth Manifold'라고 부른다.

참고로 무한 번 미분 가능하다는 것은 말 그대로 (해당 구간에서) 고계도 미분을 끝도 없이 할 수 있다는 의미이다. 다항함수(Polynomial)는 무한 번 미분 가능하기 때문에 모든 함수가 무한 번 미분 가능해 보인다. 하지만 y=|x|⋅x 같은 경우 한 번 미분은 가능하지만(2⋅|x|) 두 번째 부터는 x=0 지점에서 미분이 불가능하여 모든 실수 구간에서 Infinitely Differentiable 하지 않다.

Smooth Manifold가 중요한 이유는 미적분같은 기법들을 적용하여 Manifold를 분석할 수 있기 때문이다. Chart를 통해 변환된 저차원의 유클리드 공간에서는 원본 Manifold에서보다 훨씬 쉽게 분석 기법들을 적용할 수 있게 된다(전국도로교통 지도책을 생각해보자).

참고

• Manifolds: A Gentle Introduction
• What is an infinitely differentiable function? Are all functions infinitely differentiable?
• Homomorphisms (1)