Group

정리를 안하니 계속 잊어먹게 된다. Artin Algebra에서 설명하는 Group 에 대해서 정리해본다.

Group을 한마디로 정의하면, 'law of composition 이 정의되어 있고 각 엘리먼트들은 그 안에서 inverse를 갖는 집합'이다. 책에서 사용하는 정의는 아래와 같다.

Definition. A group is a set G together with a law of composition which is associative and has an identityt element, and such that every element of G has an inverse.

예를 들어 0이 아닌 실수의 집합을 생각해보자. 이 집합의 law of composition을 곱셈이라고 정의하면, 각 원소 k의 inverse는 1/k가 된다. 따라서 이 집합과 law of composition은 Group이 될 수 있으며 수학책에서 보통 ℝ^× 로 표기한다.

[A sumbol of the set of real numbers]

다른 예를 들면, 모든 실수의 집합에서 law of composition을 덧셈으로 정의해도 Group으로 만들 수 있다. 이 경우 각 원소 k의 inverse는 -k가 된다. 그리고 이 Group은 ℝ⁺ 으로 표기한다.

책에서 특히 중요하다고 소개하는 Group이 있는데, invertible 한 n × n matrix들의 집합으로서 law of composition이 matrix multiplication인 'General Linear Group' ‐ GL_n 이다. 따라서 GL_n은 아래와 같이 표기할 수 있다.

GL_n = { n × n matrices A with det A ≠ 0 }.