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Rank Rank is the number of linearly independent rows or columns in a matrix. Following matrix is a 2-rank matrix(not 3) as 3rd row can be made by composition of 1st and 2nd row. Reference: https://blog.naver.com/dhkdwnddml/220313237499 공감수 0 댓글수 0 2020. 10. 13.
Manifold 최근에 'Manifold' 라는 단어와 마주치게 되었다. 처음에는 도대체 무얼 말하는지 이해가 되질 않다가 최근에 조금씩 이해되기 시작하여 정리해 두기로 했다. 가장 결정적인 도움이 된 아티클은 http://bjlkeng.github.io/posts/manifolds/ 인데, 이 글에서 Tangent Space의 기저 변환을 다루고 있는 후반부(정확히는 Jacobian 행렬부터)는 이해하지 못했다. 여기에서는 기본 개념만 정리한다. Manifold는 한글로 '다양체'라고 불리는데, 별로 와닿지가 않아 그냥 Manifold라고 썼다. Manifold는 정의부터 들어가면 이해하기 어려울 것 같고, 예제를 먼저 나열해 보자. 여러 아티클 및 서적에서 1D Manifold의 예로 원(Circle)을, 2D Ma.. 공감수 1 댓글수 0 2019. 12. 24.
미분 Chain Rule 미분에서 Chain Rule(연쇄법칙)은 합성함수를 미분할 때 사용하는 공식으로 아래와 같은 형태를 갖는다. F = f ∘ g,즉, F(x) = f(g(x)) 라고 할 때, F'(x) = f'(g(x)) ⋅ g'(x) 또는 아래와 같이 d 기호를 써서 나타낼 수도 있다(내가 선호하는 방식이다). Chain Rule을 사용하면 복잡한 형태의 함수를 공식을 외우거나 전개하지 않고도 좀 더 쉽게 미분할 수 있다. 예를 들어 y = sin2(x) 를 미분한다고 해 보자(sin'(x) = cos(x) 은 미리 알고 있다고 가정한다). 위의 경우는 아주 간단한 문제였지만, 지수 부분이 다른 숫자이거나 분수인 경우에도 Chain Rule을 사용하여 문제를 나누어 풀이할 수 있다. 공감수 0 댓글수 0 2019. 7. 31.
미분 곱의 법칙 (Product rule) 미분에서 곱의 법칙(Product rule)에 대해 정리해 본다. 곱의 법칙은 두 개 이상의 함수가 곱으로 연결되어 있을 경우에 사용하는 공식으로 아래와 같이 정의된다. (f ⋅ g)' = f' ⋅ g + f ⋅ g' 그럼 지금부터 이 공식 증명을 해 본다. 증명방법은 위키피디아에 있는 방식을 가져와서 내가 이해할 수 있는 수준으로 풀어서 정리한다. 증명에서 핵심은 중간에 f(x)g(x+Δx)를 빼 주고 더해 주는 트릭이다. h(x) = f(x)g(x) 라고 하고, h'(x)를 구한다고 해 보자(h(x)는 x의 위치에서 미분 가능하다는 가정). 그리고 미분의 정의는 아래와 같다는 사실을 염두해두자. 여기서 h(x)를 f(x)g(x) 로 치환해서 위의 식에 대입해보자. 여기서 트릭을 하나 써본다. 아래와 .. 공감수 0 댓글수 0 2019. 7. 22.
미분 관련 수학 기호 편미분 기호 - ∂ 편미분 기호. 읽을 때는 [del] 이라고 읽는다(그동안 a 나 6이라고 읽었다...). 편미분을 영어로는 'partial derivative' 라고 하며, HTML 코드는 ∂, LaTex 코드는 \partial 이다. 위의 수식을 영어로 읽을 때는 "the partial derivative of z with respect to x" 와 같이 읽으면 된다. 그라디언트 - ∇ 다차원 공간에서 편미분한 것들을 모아 놓은 것을 그라디언트 라고 한다. 읽을 때는 [nabla] 라고 읽고(이제 세모 또는 역삼각형 이라고 읽지 말자...), HTML 코드는 ∇, LaTex 코드는 \nabla 이다. 참고로 'nabla'는 고대 그리스 페키니아의 현악기의 이름에서 가져왔다고 한다. 한글로는 정확하.. 공감수 6 댓글수 1 2019. 6. 7.
Right Coset 다시 한 번 집고 넘어가보자. Group G의 Subgroup H의 Left Coset을 아래와 같이 정의했다. aH = {ah | h ∈ H} 위 식을 가지고 Right Coset을 정의하면 아래와 같다. Ha = {ha | h ∈ H} Right Coset들도 역시 Congruence Relation을 이루는 Equivalence Class이다. Left Coset의 Equivalence Relation과 비교해보자. a ≡ b if b = ha, for some h ∈ H Right Coset과 Left Coset은 일치하지 않을 수 있다. Cosets 관련 포스트에서 계속 예로 들어온 S3 과 Subgroup {1, xy} 에서의 Right Coset은 아래와 같다. {1, xy} = H = Hx.. 공감수 0 댓글수 0 2017. 6. 27.
Lagrange's Theorem과 Counting Formular 지난 내용에서 Group G의 Subgroup H의 Left Coset을 아래와 같이 정의했다. aH = {ah | h ∈ H} 여기서 어떤 Subgroup의 Left Coset의 개수를 Index of H in G라고 부르고 아래와 같이 표기한다. [G : H] 예를 들어 Group G를 Symmetric Subgroup S3이며 G = {1, x, x2, y, xy, x2y} 라고 하고, x와 y가 아래와 같고, x = 010 001 100 , y = 010 100 001 Subgroup H = {1, xy} 일 때, [G : H] = 3 이다. 물론 G가 무한개의 엘리먼트를 가진다면 Index도 무한대가 된다. Subgroup H에서 Coset aH으로의 관계는 Bijective 매핑: h &zig.. 공감수 0 댓글수 0 2017. 6. 22.
Subgroup으로 생성되는 Left Coset 앞서 Coset을 다음과 같이 정의했다. aN = { g ∈ G | g = an for some n ∈ N} 즉, Group G에서 Homomorphism φ 와 Kernel N을 가질 때, 엘리먼트 a의 Coset은 aN들이다. 그런데 궂이 Homomorphism의 Kernel을 안쓰고도 Coset을 정의할 수도 있다. Group G의 Subgroup H의 Left Coset은 아래와 같다. aH = {ah | h ∈ H} Left에 a가 위치함을 기억해두자. 즉, Kernel 집합 대신에 원래 Group의 Subgroup을 쓴 것이다. Kernel도 Group G의 Subgroup이라는 것을 떠올려보자. 그리고 위의 정의에 따르면 Subgroup H도 coset이다. 왜냐하면 H = 1H 이기 때문이.. 공감수 0 댓글수 0 2017. 6. 16.
Congruence Relation & Coset Equivalence Relation in Homomorphism = Congruence Relation = Coset 들어가기에 앞서 Homomorphism에 대해 복습해보자. Group G와 G'이 있을 때, Homomorphism이란 φ: G → G' 매핑으로 다음 룰을 만족한다: φ(ab) = φ(a)φ(b) 매핑 φ:G ⟶ G'을 Homomorphism 이라고 하자. 여기서 매핑 φ에 의해 G에 Equivalence Relation이 존재하는지를 살펴보자. 이는 Homomorphism에 fibres가 존재하는지를 알아보는 것이기도 한다. 이 경우, 즉 Homomorphism인 φ에서 아래와 같이 Equivalence한 조건일 경우를 Congruence 라고 하고, 기호로는 ~(tilde) 가 아.. 공감수 0 댓글수 0 2017. 6. 10.
Equivalence relations (3) - fibres 이전 포스팅의 내용을 다시 생각해보면, 어떤 매핑함수 φ:S &xrarr; T 가 정의역(domain) S에서 Equivalence Relation을 형성한다고 했을 때, φ(a) = φ(b) 이라는 것은 a ~ b 임을 의미한다. 매핑함수가 서로 Equivalence Class 임을 판별하는데 쓰이는 것이다. 이렇게 φ 매핑에 의해서 Equivalence Relation이 형성되었을 때 이것을 the Equivalence Relation determined by the map 이라고 한다. 매핑에는 Inverse(역사상)도 있을 수가 있다. 위의 경우에는 T의 엘리먼트에 대응되는 S쪽 Partition이 Inverse 이미지가 된다. 즉, 엘리먼트 t ∈ T의 Interse Image는 모든 엘리먼트 .. 공감수 0 댓글수 0 2017. 6. 8.
Equivalence relations (2) - Bar 표현식 어떤 집합 S에 Equivalence Relation이나 Partition이 있다고 해 보자. 이 상황에서 각 엘리먼트가 Equivalence Class(혹은 Partition에 의해 나눠진 부분집합)인 새로운 집합 S를 정의할 수 있다. Equivalence Class들로 이루어진 집합이 되는 것이다. 더 나아가서 a를 포함하는 Equivalence Class가 있을 경우 이를 a라고 표기할 수 있다. a는 S의 엘리먼트 중 하나인 것이다. 위의 상황을 아래와 같은 natural surjective map으로 표현할 수 있다. natural surjective map은 전사함수인데, codomain(정의역) = range(치역) 인 함수를 말한다. S &xrarr; S, which sends a &zi.. 공감수 0 댓글수 0 2017. 6. 2.
Equivalence relations (1) Equivalence Relation은 우리말로 하면 '동치관계'이다. 수학적인 구조를 만드는 기본적인 방법중에 하나는 집합 S에서부터 시작하여 S안의 특정 엘리먼트들을 같은 범주로 두는 새로운 집합을 생성하는것이다. 편가르기? 예를 들면, 정수 집합을 짝수와 홀수 두 개의 집합으로 나눌 수 있을 것이다. 또는 평면상에서 합동인 삼각형(Congruent Triangle)들을 지리적으로 동일한 오브젝트로 볼 수도 있다. 어떤 집합 S가 있을 때, Partition P of S란 S를 겹치지 않는 부분집합으로 나누는 것을 의미한다. S = union of disjoint, nonempty subsets 예를 들면, 아래 집합은 집합 {1, 2, 3, 4, 5}의 Partition이다. {1, 3}, {2, .. 공감수 0 댓글수 0 2017. 5. 31.
Homomorphisms (2): image, kernel and normal subgroup 모든 group간 Homomorphism φ는 image와 kernel이라는 두 개의 중요한 subgroup을 갖는다. image of a homomorphism φ: G → G'은 그냥 아래와 같이 매핑된 결과 이미지이다. Homomorphism은 bijective가 아니라는 것을 유념해두자. im φ = {x ∈ G' | x = φ(a) for some a ∈ G} 이건 G' 나 혹은 φ(G) 이렇게 쓸 수도 있다. kernel of φ 는 좀 더 미묘한데, kernel이란 G의 엘리먼트들 중에서 G'의 identity로 매핑되는 녀석들을 말한다. ker φ = {a ∈ G | φ(a) = 1} 이건 G'의 identity 엘리먼트에 대해 역사상시킨 이미지라고 할 수 있다(φ-1(1)). φ가 bij.. 공감수 0 댓글수 0 2017. 5. 24.
Homomorphisms (1) Homomorphism에 대하여 다루기에 앞서 아래에 위키피디아 한국어 페이지에서 인용된 내용을 살펴보자. 추상대수학에서, 준동형(準同型, 영어: homomorphism) 또는 준동형 사상(準同型寫像)은 두 구조 사이의, 모든 연산 및 관계를 보존하는 함수이다. 이들은 범주의 사상을 이룬다. 설명에서 Homomorphism이란 '준동형'이며 직감적으로 동형, 즉 Isomorphism에서 뭔가가 빠져 있는 것 같다는 느낌이 든다. group G와 G'이 있을 때, Homomorphism이란 φ: G → G' 매핑으로 아래의 룰을 만족한다. φ(ab) = φ(a)φ(b) 여기서 a, b ∈ G 이다. 엇, 그런데 이건 Isomorphism의 정의랑 같다??? Homomorphism이 Isomorphism과 .. 공감수 0 댓글수 0 2017. 5. 22.
Automorphism and conjugation isomorphism 중에는 (헷갈리게도) group G에서 자기자신으로 대응되는 isomorphism도 있을 수 있다. φ: G → G 이러한 isomorphism을 'automorphism of G' 라고 한다. 당연히 identity map은 automorphism이다. 다른 예를 들면, group G = {1, x, x2} 를 order 3짜리 cyclic group이라고 하자(x3 = 1). 그러면 x와 x2을 서로 교환하는(interchange) 치환(transposition)은 automorphism of G 이다(φ 를 해당 치환으로 두는 것이다). 1 &#8669 1 x &#8669 x2 x2 &#8669 x 여기서 x2 도 x와 마찬가지로 이 group의 order 3인 엘리먼트 중 하.. 공감수 0 댓글수 0 2017. 5. 18.
Isomorphism (2) 앞서 group G와 G'간의 대응(correspondence)관계를 아래와 같이 표현했다. G ↔ G' 이와 같은 양방향 대응관계를 단방향으로 표현하기 위해 함수 표현식을 사용하거나 맵(map) 표현식을 사용할 수 있다. 맵 표현식을 사용하면 map φ: G → G' 이렇게 된다. 즉, 'G 에서 G'으로 가는 isomorophism φ'는 law of composition을 호환하는 일대일대응 맵(bijective map) 이 되겠다. law of composition을 호환한다는 말의 의미를 수식으로 쓰기 위해 대응관계 표현을 φ 함수를 사용하여 아래와 같이 쓸 수 있다. φ(ab) = φ(a)φ(b), for all a, b ∈ G 위 식에서 우변은 group G에서 a와 b를 곱하여 φ 함수를 .. 공감수 0 댓글수 0 2017. 5. 17.
Isomorphisms (1) Isomorphism은 우리말로 하면 '동형사상'이다. 위키피디아 한국어 페이지에서는 '서로 구조가 같은 두 대상 사이에, 모든 구조를 보존하는 사상이다'라고 설명한다. 이게 무슨 말인가? 두 group G와 G'이 있을 때 G의 모든 group 속성을 G'이 따를 경우 이 둘을 isomorphic하다 라고 한다. 예를 들어 group G가 아래와 같은 형태의 실수 행렬일 경우, 1x 1 위와 같은 형태의 행렬들은 GL2(ℝ)의 subgroup 이며, 이러한 행렬 두 개를 곱하면 아래와 같이 우상단(1,2) 성분들이 더해지는 형태가 된다. 1x 1 1y 1 = 1(x + y) 1 그래서 이런 형태의 행렬들을 서로 곱할 때에는 자연스럽게 우상단 entry만 보게 된다. 이 상황을 가리켜 group G가 실.. 공감수 0 댓글수 0 2017. 5. 16.
Cyclic subgroup Cyclic subgroup 역시 group 챕터에서 자주 등장하는 개념이다. group G의 임의의 엘리먼트 x를 가지고 cyclic subgroup 이란 것을 생성(generate)해낼 수 있다. 여기서는 곱셈을 law of composition 으로 표기할 것이다. x에 의해 생성되는 cyclic subgroup H는 아래와 같이 x를 거듭 composition한 것이다. H = {..., x-2, x-1, 1, x, x2, ...} 이것은 x를 포함하는 가장 작은 G의 subgroup 이 된다. 그리고 또한 주목해야하는 내용은 xn이 group G의 엘리먼트 중 하나를 나타낸다는 것이다. x를 거듭 composition 하다보면 반복이 일어날 수도 있다. 예를 들어 x = 1 이면 모든 엘리먼트들.. 공감수 0 댓글수 0 2017. 5. 15.
Subgroup of ℤ+ 이번에는 덧셈을 law of composition으로 하는 정수 group인 ℤ+ 의 subgroup 들을 살펴보자. 우선 특정 정수 b의 배수로 이루어진 ℤ+ 의 subgroup은 아래와 같이 쓸 수 있다. bℤ = {n ∈ ℤ | n = bk for some k ∈ ℤ}. 그러면 여기서 (놀랍게도!) ℤ+ 의 모든 subgroup은 위와 같은 형태가 된다는 명제가 하나 나온다. Proposition. 모든 정수 b에 대해서 부분집합(subset) bℤ 는 ℤ+의 subgroup이다. 게다가 (심지어) ℤ+의 모든 subgroup H는 'H = bℤ for some integer b' 이렇게 쓸 수 있다! 책에서는 bℤ가 ℤ+의 subgroup이라는.. 공감수 0 댓글수 0 2017. 5. 11.
Subgroups 집합과 부분집합의 관계가 있듯이 group이 있으면 subgroup이 있을 수 있다. 어떤 group G의 subgroup H는 아래와 같은 성질을 갖는다. Closure: If a ∈ H and b ∈ H, then ab ∈ H Identity: 1 ∈ H Inverses: If a ∈ H, then a-1 ∈ H 위에서 첫 번째 Clusure는 group G의 law of composition이 subgroup H에도 사용될 수 있다는 것을 시사한다. 이렇게 부모 group의 law of composition과 subgroup의 그것이 같을 경우 induced law of composition 이라고 부른다. 두 번째(Identity)와 세 번째(Inverse)에서는 H가 induced law of .. 공감수 0 댓글수 0 2017. 5. 11.
Symmetric Group Symmetric Group의 개념은 Group 챕터에서 자주 등장한다. 볼때마다 계속 잊어먹고 있는데 잘 숙지해 둬야겠다. Permutations permutation of T란 어떤 집합 S = Maps(T,T) - 집합 T를 입력으로 받고 T를 출력으로 내놓는 매핑 함수들의 집합 - 안의 어떤 함수 map f: T ↝ T 가 inverse를 갖고 이것이 일대일 매핑(bijective)할 경우 이 map 함수를 permutation of T 라고 부른다. 이런 permutation들을 집합으로 모아 놓으면 (신기하게도!) group을 형성한다. 예를 들어 identity와 transposition을 나타내는 매핑 i와 𝜏 역시 group을 형성한다. 두 개의 엘리먼트들이 집합 {a,b} 의 permu.. 공감수 0 댓글수 0 2017. 5. 8.
Abelian Group Abelian group은 law of composition이 commutative한 group 들을 일컫는다. 아래 예시들은 모두 abelian group이다. ℤ+: the integers, with addition ℝ+: the real numbers, with addtion ℝ×: the nonzero real numbers, with multiplication ℂ+, ℂ×: the analoguous groups, where the set ℂ of complex numbers replaces the real numbers ℝ 공감수 0 댓글수 0 2017. 5. 8.
Group - Law of composition 어떤 집합 S의 law of composition을 다음과 같이 정의해보자. 일단 집합 S에서 두 원소 a,b를 뽑는다. 그다음 그 둘을 조합해서 집합 S내의 다른 원소 p로 만든다고 하자. 위의 law of composition을 함수로 생각해보면, 이 함수는 S의 원소 두개를 인자로 받아서 S의 원소 하나로 출력한다. 일종의 map 과 같은 것이다. S × S → S a,b ↝ p. 여기서 S × S 는 집합 S내의 원소 pair (a, b)의 product를 의미한다. p = f(a, b)와 같은 functional notiation 은 불편해서 잘 쓰이지 않는다. 대신 law of composition의 종류 혹은 성질에 따라 아래와 같이 덧셈이나 곱셈 등의 많이 쓰인다. p = ab, a × b.. 공감수 0 댓글수 0 2017. 4. 28.
Group 정리를 안하니 계속 잊어먹게 된다. Artin Algebra에서 설명하는 Group 에 대해서 정리해본다. Group을 한마디로 정의하면, 'law of composition 이 정의되어 있고 각 엘리먼트들은 그 안에서 inverse를 갖는 집합'이다. 책에서 사용하는 정의는 아래와 같다. Definition. A group is a set G together with a law of composition which is associative and has an identityt element, and such that every element of G has an inverse. 예를 들어 0이 아닌 실수의 집합을 생각해보자. 이 집합의 law of composition을 곱셈이라고 정의하면, 각 원소.. 공감수 0 댓글수 0 2017. 4. 28.
크래머의 법칙 정리 Artin Algebra 에서 설명하는 Crammer's Rule 을 정리해 보았다. 중간에 나온 Theorem의 증명은 생략했다. Crammer's Rule 은 연립일차방정식(systems of linear equations)의 해를 행렬식(determinant)으로 구하는 방법이다. 이를 유도하기 위해 우선 아래와 같이 행렬 A의 행렬식을 j번째 column에 대한 expansion by minors 로 정리해보자. (식1)... det A = (-1)j+1a1jdet A1j + (-1)j+2a2jdet A2j + ... + (-1)j+nanjdet Anj. 여기서 Aij는 행렬 A에서 i번째 row와 j번째 column을 제거한(crossing out) 행렬이다. 위 식에 αij = (-1)i+j .. 공감수 0 댓글수 0 2017. 3. 19.
증명(proof) 관련 용어 정리 Abstract Algebra 책에 증명 관련 용어들을 정리해 놓은 챕터가 있어서 한글로 정리해 본다. 이론 수학에서는 axiomatic approach 라는 방식을 사용한다. 이는 어떤 오브젝트들을 모아 놓고 이것을 S라고 한다음 이들에 대한 룰(rule)을 가정하는 것이다. 여기서 말하는 룰들을 axioms(공리) 라고 한다. S에 대한 axiom 들과 논리적인 방식들을 가지고 S에서 또다른 정보들을 추출해낼 수 있다. axiom 들은 또한 일관성이 있어야 한다. 즉, axiom 들은 서로를 부정해서는 안된다. 어떤 시스템에서 axiom 들이 지나치게 제한적이라면 이 시스템으로부터 나올 수 있는 수학적인 예문(examples of the methematical structure)이 별로 없을 것이다... 공감수 0 댓글수 0 2017. 2. 2.

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