Right Coset

다시 한 번 집고 넘어가보자. Group G의 Subgroup H의 Left Coset을 아래와 같이 정의했다.

aH = {ah | h ∈ H}

위 식을 가지고 Right Coset을 정의하면 아래와 같다.

Ha = {ha | h ∈ H}

Right Coset들도 역시 Congruence Relation을 이루는 Equivalence Class이다. Left Coset의 Equivalence Relation과 비교해보자.

a ≡ b if b = ha, for some h ∈ H

Right Coset과 Left Coset은 일치하지 않을 수 있다. Cosets 관련 포스트에서 계속 예로 들어온 S₃ 과 Subgroup {1, xy} 에서의 Right Coset은 아래와 같다.

{1, xy} = H = Hxy,
{x, y} = Hx = Hy,
{x², x²y} = Hx² = Hx²y

반면에 Left Coset은 아래와 같았다.

{1, xy} = H = xyH
{x, x²y} = xH = x²yH
{x², y} = x²H = yH

이렇게 Left와 Right Coset으로 나뉘어진 Partition은 다를 수 있으나.., 그런데 N이 Normal Subgroup일 경우엔 Left와 Right Coset이 서로 같게 된다.

여기서 Normal Subgroup이 뭐였는지에 대해 잠깐 복습해보자.

Definition. 다음 속성을 갖는 Group G의 Subgroup N을 Normal Subgroup이라고 부른다: 모든 a ∈ N와 모든 b ∈ G에 대하여 Conjugate bab^-1은 N의 엘리먼트이다. (여기서 Subgroup N이 꼭 Kernel일 필요는 없다)

다시 본론으로 돌아와서 Normal Subgroup으로 만들어진 Left와 Right Coset에 대해 살펴보자.

Proposition. Group G의 Subgroup H가 Normal Subgroup일 경우에만(if and only if) 모든 Left Coset은 Right Coset이기도 하게 된다. 즉, H가 Normal일 경우, 모든 a ∈ G에 대하여 aH = Ha 이게 된다.

Proof. H가 Normal이라고 하자. 그러면 Normal의 정의에 의해 h ∈ H와 a ∈ G에 대하여

ah = (aha^-1)a

이게 된다. 제일 오른쪽 두 항이 서로 역이라서 소거되므로 둘은 같다.

H가 Normal Subgroup이기 때문에 (Normal의 정의에 의해) Conjugate 엘리먼트인 k = aha^-1 은 H의 엘리먼트이기도 하게된다. 따라서 엘리먼트 ah는 ah = ka 가 성립하고, 이 엘리먼트는 aH에도 속하고, Ha에도 속한다. 즉, aH ⊂ Ha 이며, aH ⊃ Ha 이므로 두 Coset들은 서로 같게 된다.

이번엔 반대로 H가 Normal이 아닌 경우를 생각해보자. 그러면 aha^-1 ∉ H인 엘리먼트 h ∈ H 와 a ∈ G 가 존재할 것이다. 그리고 ah는 Left Coset인 aH의 엘리먼트이지만 Right Coset인 Ha의 엘리먼트는 아니게 된다. 근데 만일에 ah가 Right Coset에도 포함된다고 생각해보자. ah = h'a for some h' ∈ H 이고, 그러면 aha^-1 = h' (aa^-1) ∈ H 이게 된다. 이러면 애초에 Normal이 아닌 조건, 즉 aha^-1 ∉ H 였으므로 모순이 된다. 따라서 Normal Subgroup이 아니면 Left Coset과 Right Coset이 같을 수가 없는 것이다.

한가지 더, aH와 Ha가 공통의 엘리먼트를 하나 갖고 있다고 하자. 그 엘리먼트는 분명히 a이다. 따라서 aH는 a말고 다른 Right Coset과 같은 것이 있을 수 없다. 이를 통해 Left Coset으로 나뉘어진 Partition과 Right Coset으로 나뉘어진 Partition이 같을 수가 없다는 것을 확인할 수 있다.