Homomorphisms (1)

Homomorphism에 대하여 다루기에 앞서 아래에 위키피디아 한국어 페이지에서 인용된 내용을 살펴보자.

추상대수학에서, 준동형(準同型, 영어: homomorphism) 또는 준동형 사상(準同型寫像)은 두 구조 사이의, 모든 연산 및 관계를 보존하는 함수이다. 이들은 범주의 사상을 이룬다.

설명에서 Homomorphism이란 '준동형'이며 직감적으로 동형, 즉 Isomorphism에서 뭔가가 빠져 있는 것 같다는 느낌이 든다.

group G와 G'이 있을 때, Homomorphism이란 φ: G → G' 매핑으로 아래의 룰을 만족한다.

φ(ab) = φ(a)φ(b)

여기서 a, b ∈ G 이다.

엇, 그런데 이건 Isomorphism의 정의랑 같다??? Homomorphism이 Isomorphism과 다른 점은 φ 매핑이 일대일 대응(bijective)하지 않아도 된다는 점이다.

아래의 매핑들은 모두 Homomorphism이다.

1. the determinant function det: GL_n(ℝ) → ℝ^×
2. the sign of a permutation sign: S_n → {±1}
3. the map φ: ℤ⁺ → G defined by φ(n) = aⁿ, where a is a fixed element of G
4. the inclustion map i: H → G of a subgroup H into a group G, defined by i(x) = x

가장 단순한 예제인 두 번째 b의 경우, 매핑이 다대일 사상이기 때문에 Isomorphism은 아니다. 하지만 φ(ab) = φ(a)φ(b) 을 만족하기 때문에 Homomorphism이 된다.

Proposition. group간 Homomorphism인 φ: G → G'은 identity를 identity로 사상하고, inverse를 inverse로 사상한다. 다시말해서, φ(1_G) = 1_G' 이며, φ(a^-1) = φ(a)^-1 이다.

Proof. 1 = 1 · 1 이고, φ가 homomorphism이기 때문에 φ(1) = φ(1 · 1) = φ(1)φ(1) 이다. 양 끝단 변의 φ(1)을 소거하면, 1 = φ(1) 이 된다. 그리고 φ(a^-1)φ(a) = φ(a^-1a) = φ(1) = 1 이고, 같은 방식으로 φ(a)φ(a^-1) = 1 이다. 따라서 φ(a^-1) = φ(a)^-1 (양변에 φ(a)^-1 을 곱함) 이다(끝).