Isomorphism (2)

앞서 group G와 G'간의 대응(correspondence)관계를 아래와 같이 표현했다.

G ↔ G'

이와 같은 양방향 대응관계를 단방향으로 표현하기 위해 함수 표현식을 사용하거나 맵(map) 표현식을 사용할 수 있다. 맵 표현식을 사용하면 map φ: G → G' 이렇게 된다. 즉, 'G 에서 G'으로 가는 isomorophism φ'는 law of composition을 호환하는 일대일대응 맵(bijective map) 이 되겠다. law of composition을 호환한다는 말의 의미를 수식으로 쓰기 위해 대응관계 표현을 φ 함수를 사용하여 아래와 같이 쓸 수 있다.

φ(ab) = φ(a)φ(b), for all a, b ∈ G

위 식에서 우변은 group G에서 a와 b를 곱하여 φ 함수를 적용한다는 의미이고, 좌변은 이전에 a', b'을 나타내던 φ(a)와 φ(b) 를 G'에서 곱한다는 의미이다. group에서 곱한다는 말은 해당 group의 law of composition을 써서 composition 한다고 생각하면 된다. 이걸 다시 아래와 같이 쓸 수도 있다.

(ab)' = a'b'

물론 domain(정의역)과 range(치역)를 바꾸어도 된다. 즉, φ^-1: G' → G 이것도 성립한다.

다시 정리하면, 두 group G와 G'간에 φ G → G' 대응을 갖는 isomorphism이 존재한다면 이 둘을 isomorphic 하다고 한다. 두 group간 isomorphic을 나타내기 위해서 ≈ 기호를 사용할 것이다. 위키피디아 페이지 에서는 ≅ 기호를 사용하는데 책에서는 ≈ 기호를 쓴다.

G ≈ G' means G is isomorphic to G'

서로 다른 law of composition을 갖는 group간의 isomorphism에 대한 예를 살펴보자. infinite cyclic group C = {..., a^-2, a^-1, 1, a, a², ...} 는 아래 매핑에 의하여 group ℤ⁺와 isomorphism 관계를 이루게 된다.

φ: ℤ⁺ → C

여기서 φ(n) = aⁿ 이다.

주목해야하는 점은 law of composition이 domain(정의역)에서는 덧셈이고 range(치역)에서는 곱셈이라는 것이다. 이런 경우 isomorphism group 들을 φ 함수의 관계식으로 나타내면 위에서 본 것과는 달리 φ(m + n) = φ(m)φ(m) 또는 a^m+n = a^maⁿ 이렇게 된다.

이번에는 cyclic group간의 예를 들어보자. 두 cyclic group이 각각 엘리먼트 x와 y로 생성(generate)되었고, 둘 다 같은 order를 갖는다고 해 보자. 그러면 xⁱ에서 yⁱ로 대응되는 매핑은 isomorphism 이다. 즉, 같은 order를 갖는 두 cyclic group은 서로 isomorphic 이다.

다시 또 정리하자면, 두 group G와 G'이 isomorphic 하다는 것은 φ: G → G' 의 대응 관계를 갖는 isomorphism, 즉 law of composition을 호환하는 일대일대응 매핑(bijective map)이 있을 경우이다.

그리고 어떤 group G에 isomorphic한 group들을 모아서 isomorphism class 라고 부른다. isomorphism class 안의 어떤 두 group은 서로 isomorphic 하다.